【題目】已知,如圖①,△ABC、△AED是兩個(gè)全等的等腰直角三角形(其頂點(diǎn)B、E重合),∠BAC=∠AED=90°,O為BC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn),連接OF.

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
①如圖①,線段OF與EC的數(shù)量關(guān)系為
②將△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②,OF與EC的數(shù)量關(guān)系為;

(2)類比延伸
將圖①中△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置,請(qǐng)判斷線段OF與EC的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.

(3)拓展探究
將圖①中△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α,0°≤α≤90°,AD= ,△AED在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,存在△ACD為直角三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CD的長(zhǎng).

【答案】
(1)OF= EC;OF= EC
(2)

解:OF= EC.

證明:在等腰直角△ADE中,F(xiàn)為AD的中點(diǎn),

∴AF= AD= AE,

在等腰直角△ABC中,O為BC的中點(diǎn),

如圖1,

連接AO,

∴AO= AC,∠BAO=∠CAO=45°,

∵∠DAE=45°,

∴∠DAE=∠CAO,

∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO,

即∠DAO=∠CAE,

∵AE=AC,

∴AF=AO,

= ,

∴△AFO∽△AEC,

= = ,

∴OF= EC,


(3)

解:∵△ABC和△AED是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,

∴AD=BC=

∴ED=AE=AB=AC=1,

△ACD為直角三角形時(shí),分兩種情況:

①當(dāng)AD與AB重合時(shí),如圖2,

連接CD,

∵△ACD為直角三角形,AD⊥AC,

即將△ADE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,

∵AD= ,AC=1,

∴由勾股定理可得CD= = ;

②當(dāng)AE與AC重合時(shí),如圖3,

△ACD為直角三角形,AC⊥CD,

即將△ADE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,此時(shí)CD=AC=1.

即:CD的長(zhǎng)為 或1.


【解析】解:(1)①∵△ABC、△AED是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,
∴AD=BC,
∵O為BC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn),
∴AF=OC,
∵∠BAC=∠AED=90°,
∴AD∥BC,
∴四邊形AFOC是平行四邊形,
∴OF=AC= EC,
故答案:OF= EC;②如圖,

∵AO= AC,∠BAO=∠CAO=45°,
∵∠DAE=45°,
∴∠DAE=∠CAO,
∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO,
即∠DAO=∠CAE,
∵AE=AC,
∴AF=AO,
= ,
∴△AFO∽△AEC,
= = ,
∴OF= EC,
故答案OF= EC
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí),掌握測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在△ABC中,BC的垂直平分線EF交∠ABC的平分線BD于E,如果∠BAC=60°,∠ACE=24°,那么∠BCE的大小是( 。

A. 24° B. 30° C. 32° D. 36°

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè))與y軸交于點(diǎn)C.
(1)如圖1,連接AC、BC,若△ABC的面積為3時(shí),求拋物線的解析式;

(2)如圖2,點(diǎn)P為第四象限拋物線上一點(diǎn),連接PC,若∠BCP=2∠ABC時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo);

(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)F在AP上,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H點(diǎn),點(diǎn)K在PH的延長(zhǎng)線上,AK=KF,∠KAH=∠FKH,PF=﹣4 a,連接KB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q,求PQ的長(zhǎng).

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【題目】某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺(tái)GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù).已知每臺(tái)GH型產(chǎn)品由4個(gè)G型裝置和3個(gè)H型裝置配套組成.工廠現(xiàn)有80名工人,每個(gè)工人每天能加工6個(gè)G型裝置或3個(gè)H型裝置.工廠將所有工人分成兩組同時(shí)開(kāi)始加工,每組分別加工一種裝置,并要求每天加工的G、H型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH型產(chǎn)品.

(1)按照這樣的生產(chǎn)方式,工廠每天能配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品?請(qǐng)列出二元一次方程組解答此問(wèn)題.

(2)為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?wù),工廠決定補(bǔ)充一些新工人,這些新工人只能獨(dú)立進(jìn)行G型裝置的加工,且每人每天只能加工4個(gè)G型裝置.1.設(shè)原來(lái)每天安排x名工人生產(chǎn)G型裝置,后來(lái)補(bǔ)充m名新工人,求x的值(用含m的代數(shù)式表示)2.請(qǐng)問(wèn)至少需要補(bǔ)充多少名新工人才能在規(guī)定期內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)?

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【題目】長(zhǎng)江是我們的母親河,金港新區(qū)為了打造沿江風(fēng)景,吸引游客搞活經(jīng)濟(jì),將一段長(zhǎng)為180米的沿江河道整治任務(wù)交由A、B兩工程隊(duì)先后接力完成.A工作隊(duì)每天整治12米,B工程隊(duì)每天整治8米,共用時(shí)20天.求A、B兩工程隊(duì)分別整治河道多少米?

⑴根據(jù)題意,七⑴班甲同學(xué)列出尚不完整的方程組如下。根據(jù)甲同學(xué)所列的方程組,請(qǐng)你分別指出未知數(shù)xy表示的意義,然后在方框中補(bǔ)全甲同學(xué)所列的方程組;

,x表示________________________y表示_________________________;

⑵如果乙同學(xué)直接設(shè)A工程隊(duì)整治河道的米數(shù)為x,B工程隊(duì)整治河道的米數(shù)為y,列出了一個(gè)方程組,求A、B兩工程隊(duì)分別整治河道多少米.請(qǐng)你幫助他寫(xiě)出完整的解答過(guò)程。

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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B坐標(biāo)為(6,0)、(0,6),P為線段AB上的一點(diǎn)

(1) 如圖1,若SAOP12,求P的坐標(biāo)

(2) 如圖2,若PAB的中點(diǎn),點(diǎn)M、N分別是OA、OB邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M從頂點(diǎn)A、點(diǎn)N從頂點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),且它們的速度都為1 cm/s,則在MN運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,線段PM、PN之間有何關(guān)系?并證明

(3) 如圖3,若P為線段AB上異于A、B的任意一點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)作BDOP,交OPOA分別與F、D兩點(diǎn),EOA上一點(diǎn),且∠PEABDO,試判斷線段ODAE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由

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【題目】如圖,AB是⊙O的切線,B為切點(diǎn),圓心在AC上,∠A=30°,D為 的中點(diǎn).
(1)求證:AB=BC;
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,10),B(8,10),C(8,0),過(guò)O、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c與線段AB交于點(diǎn)D,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處.

(1)求AD的長(zhǎng)及拋物線的解析式;
(2)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā),沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.請(qǐng)問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí),以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?
(3)若點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上,點(diǎn)M在拋物線上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使以M、N、C、E為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)(不寫(xiě)求解過(guò)程);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知在△ABC中,AB=17,AC=10,BC邊上的高AD=8,則邊BC的長(zhǎng)為( )

A. 21 B. 15 C. 9 D. 9或21

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同步練習(xí)冊(cè)答案