Question

平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交與點(diǎn)A（4，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合點(diǎn)P的坐標(biāo)（并畫(huà)出相對(duì)應(yīng)的圖）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB的長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出AB，然后分①∠OBP是直角時(shí)，分兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BP的長(zhǎng)，然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②∠OPB是直角時(shí)，分∠BOP=∠OAB和∠BOP=∠OBA兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出PO的長(zhǎng)，然后利用瑞角三角函數(shù)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可，③∠BOP是直角時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，不在第一象限，不符合題意．

解答：解：如圖，∵點(diǎn)A（4，0）、B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

42+32

=5，
①∠OBP是直角時(shí)，若BP與OB是對(duì)應(yīng)邊，則△BPO∽△OBA，
∴

BP

OB

=

OB

OA

，
即

BP

3

=

3

4

，
解得BP=

9

4

，
此時(shí)，點(diǎn)P₁（

9

4

，3），
若BP與OA是對(duì)應(yīng)邊，則△BOP∽△OBA，
∴

BO

OB

=

BP

OA

，
即

3

3

=

BP

4

，
解得BP=4，
此時(shí)點(diǎn)P₂（4，3）；
②∠OPB是直角時(shí)，若∠BOP=∠OAB，則△PBO∽△OBA，
∴

PO

OB

=

OA

AB

，
即

PO

3

=

4

5

，
解得PO=

12

5

，
∵∠BOP+∠AOP=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠AOP=∠ABO，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為PO•cos∠AOP=

12

5

×

3

5

=

36

25

，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為PO•sin∠AOP=

12

5

×

4

5

=

48

25

，
此時(shí)，點(diǎn)P₃（

36

25

，

48

25

）；
若∠BOP=∠OBA，則△POB∽△OBA，
∴

PO

OB

=

OB

BA

，
即

PO

3

=

3

5

，
解得PO=

9

5

，
∵∠BOP+∠AOP=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AOP=∠OAB，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為PO•cos∠AOP=

9

5

×

4

5

=

36

25

，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為PO•sin∠AOP=

9

5

×

3

5

=

27

25

，
此時(shí)，點(diǎn)P₄（

36

25

，

27

25

），
③∠BOP是直角時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，不在第一象限，不符合題意；
綜上所述，點(diǎn)P₁（

9

4

，3），P₂（4，3），P₃（

36

25

，

48

25

），P₄（

36

25

，

27

25

）時(shí)，以P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，解直角三角形，難點(diǎn)在于分情況討論．