Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y=﹣x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上？若存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5．（2）m=2或m=；

（3）理由見解析.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；

（3）解題關(guān)鍵是識(shí)別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形，然后根據(jù)PE=CE的條件，列出方程求解；當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時(shí)，P點(diǎn)y軸上，即可得到點(diǎn)P坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A （﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，

∴解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5．

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．

∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，

EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．

由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|﹣m+15|

①若﹣m2+m+2=﹣m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，

解得：m=2或m=；

②若﹣m2+m+2=﹣（﹣m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，

解得：m=或m=．

由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m=、m==這兩個(gè)解均舍去．

∴m=2或m=．

（3）假設(shè)存在．

作出示意圖如下：

∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對(duì)稱，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．

當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時(shí)，

由直線CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸，交y軸于點(diǎn)M，易得△CEM∽△CDO，

∴==，即=，解得CE=|m|，

∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|

∴|﹣m2+m+2|=|m|．

①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；

②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．

由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m=3+這個(gè)解舍去．

當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時(shí)，

此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，E，C，E'三點(diǎn)重合與y軸上，也符合題意，

∴P（0，5）

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，5）或（﹣，）或（4，5）或（3﹣

2﹣3）．