Question

【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）

（1）若二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）若P（m，n）和Q（5，b）是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，且n＞b，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，求y的最小值（用含a、m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）a≥；（2）m＜﹣1或m＞5；（3）y的最小值為：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．

【解析】

（1）令對(duì)應(yīng)一元二次方程根的判別式大于等于0，然后解答即可；

（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=，當(dāng)n=b時(shí)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可得m=-1，最后確定m的取值范圍即可；

（3）分m<0，0≤m≤2，m>2三種情況別求解即可．

解：（1）由題意得：

△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，

解得：a≥；

（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝2，

當(dāng)n＝b時(shí)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，則m＝﹣1或m=5，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m＜﹣1或m＞5；

（3）①當(dāng)m+2＜2時(shí)，即m＜0時(shí)，

函數(shù)在x＝m+2時(shí)，取得最小值，

ymin＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；

②當(dāng)m≤2≤m+2時(shí)，即0≤m≤2，

函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，

即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；

③當(dāng)m＞2時(shí)，

函數(shù)在x＝m時(shí)，取得最小值，

ymin＝am2﹣4am+a+1；

綜上，y的最小值為：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．