Question

【題目】如圖，線段 AB＝4，M 為 AB 的中點，動點 P 到點 M 的距離是 1，連接 PB，線段

PB 繞點 P 逆時針旋轉 90°得到線段 PC，連接 AC，則線段 AC 長度的最大值是_________．

Answer 1

【答案】3

【解析】

以O為坐標原點建立坐標系，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F，設點P的坐標為（x，y），根據題意動點 P 到點 M 的距離是 1，在△0PF中利用勾股定理得x2+y2=1．然后證明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性質得到EC=PF=y，F(xiàn)B=EP=2-x，從而得到點C（x+y，y+2-x），最后依據兩點間的距離公式可求得AC=，最后，依據當y=1時，AC有最大值求解即可．

解：如圖所示：過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F．

∵AB=4，O為AB的中點，
∴A（-2，0），B（2，0）．
設點P的坐標為（x，y），則x2+y2=1．
∵∠EPC+∠BPF=90°，∠EPC+∠ECP=90°，
∴∠ECP=∠FPB．
由旋轉的性質可知：PC=PB．
在△ECP和△FPB中，

，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC=PF=y，F(xiàn)B=EP=2-x．
∴C（x+y，y+2-x）．
∵AB=4，O為AB的中點，
∴AC==

∵x2+y2=1，
∴AC=

∵-1≤y≤1，
∴當y=1時，AC有最大值，AC的最大值為=3．
故答案為：3．