Question

如圖，在等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AD=BE，AE、CD相交于點(diǎn)F，AG⊥CD，垂足為G．求證：AF=2FG．

Answer 1

證明：∵等邊三角形ABC，
∴AB=CA，∠ABE=∠CAD=60°，
在△ABE和△CAD中，，

∴△ABE≌△CAD（SAS）．
∴∠AEB=∠CDA，又∠EAD為公共角，
∴△ADF∽△ABE．
∴∠AFD=∠B=60°．
∵AG垂直CD，即∠AGF=90°，
∴∠GAF=30°，
∴AF=2FG（直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）．
分析：欲證AF=2FG，因?yàn)锳G⊥CD，△AGF為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)證明∠GAF=30°或∠AFD=60即可，需要證明△ADF∽△ABE，通過證明△ABE≌△CAD可以得出．
點(diǎn)評：此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)及有30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問題的精神，證明線段是2倍關(guān)系的問題往往要用到有30°角的直角三角形的性質(zhì)求解，要熟練掌握．