Question

如圖，點(diǎn)D是⊙O直徑CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，弦AE與BC相交于點(diǎn)F，且CF=9，cos∠BFA=

2

3

，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接BO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可判斷△DOB是直角三角形，則∠OBD=90°，BD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）根據(jù)圓周角定理，易證△AFB∽△CFE，結(jié)合相似比，即可得出EF的長(zhǎng)；

解答：（1）證明：連接BO，
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：連接CE，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=∠CEA=90°，
又∵∠AFB=∠CFE，
∴△AFB∽△CFE，
∴

AF

BF

=

CF

EF

，又CF=9，cos∠BFA=

2

3

，
∴EF=

2

3

×9=6．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等內(nèi)容，是一個(gè)綜合較強(qiáng)的題目．