Question

【題目】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）

（1）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是_____；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5，xy=，則x﹣y=______；

（3）若（3x﹣2y）2=5，（3x+2y）2=9，求xy的值．

（4）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，你有什么發(fā)現(xiàn)？_____．

Answer 1

【答案】（1）（a+b）2-（a﹣b）2=4ab；（2）±4；（3）；（4）（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2.

【解析】

（1）在圖2中，大正方形由小正方形和4個矩形組成，則（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）由（1）的結(jié)論得到（x+y）2-（x-y）2=4xy，再把x+y=5，xy=代入，然后利用平方根的定義求解即可；（3）把（3x+2y）2變形為（3x﹣2y）2+4×3x2y的形式，再代入（3x+2y）2與（3x﹣2y）2的值，即可求出xy的值；（4）觀察圖形得到邊長為（a+b）與（3a+b）的矩形由3個邊長為a的正方形、4個邊長為a、b的矩形和一個邊長為b的正方形組成，則有（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2．

（1）∵圖2中陰影部分為邊長為（b-a）的正方形，

∴陰影部分的面積（b-a）2，

∵邊長為a+b的正方形的面積減去邊長為b-a的正方形等于4個長寬分別a、b的矩形面積，

∴（a+b）2-（a﹣b）2=4ab，

故答案為：（a+b）2-（a﹣b）2=4ab

（2）由（1）得（x+y）2-（x-y）2=4xy，

∵x+y=5，xy=，

∴25-（x-y）2=9，

∴（x-y）2=16，

∴x-y=±4，

故答案為：±4

（3）由（1）得（3x+2y）2=（3x﹣2y）2+4×3x2y

∵（3x﹣2y）2=5，（3x+2y）2=9，

∴9=5+24xy，

∴xy=.

（4）邊長為（a+b）與（3a+b）的矩形面積為（a+b）（3a+b），它由3個邊長為a的正方形、4個邊長為a、b的矩形和一個邊長為b的正方形組成，

∴（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2．

故答案為：（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2