Question

8．如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線$y=\frac{2}{x}$在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等腰Rt△ABC，點(diǎn)C在第四象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在第四象限，且雙曲線$y=\frac{k}{x}$始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值為-2．

Answer 1

分析 連結(jié)OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，$\frac{2}{a}$），利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得到點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則OA=OB，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OC=OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE，則根據(jù)“AAS”可判斷△COD≌△OAE，所以O(shè)D=AE=$\frac{2}{a}$，CD=OE=a，于是C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{a}$，a），最后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定C點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式．

解答 解：連結(jié)OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，如圖，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，$\frac{2}{a}$），
∵A點(diǎn)、B點(diǎn)是正比例函數(shù)圖象與雙曲線y=$\frac{2}{x}$的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OA=OB
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
在△COD和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDO=∠OEA}\\{∠DCO=∠EOA}\\{CO=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△OAE（AAS），
∴OD=AE=$\frac{2}{a}$，CD=OE=a，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{a}$，-a），
∵-a•$\frac{2}{a}$=-2，
∴點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$圖象上．
故答案為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)解決線段相等的問(wèn)題．