Question

如圖①，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°．如圖②所示，現(xiàn)固定△ABC，將△EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AE邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止，若不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)這兩種特殊的情形，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H兩點(diǎn)，設(shè)CG=x．
（1）始終與△AGC相似的三角形有

△HAB

及

△HGA

；
（2）設(shè)BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論．
（2）由△AGC∽△HAB，利用其對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于x、y的關(guān)系式：9：y=x：9即可．
（3）此題要采用分類討論的思想，當(dāng)CG＜

1

2

BC時(shí)，當(dāng)CG=

1

2

BC時(shí)，當(dāng)CG＞

1

2

BC時(shí)分別得出即可．

解答：解：
（1）∵△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，
∵∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=45°，
∴∠H=∠CAG，
∵∠ACG=∠B=45°，
∴△AGC∽△HAB，
∴同理可得出：△AGC∽△HGA，
∴始終與△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；
故答案為：△HAB和△HGA．

（2）∵△AGC∽△HAB，
∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，
∴y=

81

x

，
∵AB=AC=9，∠BAC=90°，
∴BC=

AB2+AC2

=

92+92

=9

2

．
答：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=

81

x

（0＜x＜9

2

）；

（3）①當(dāng)CG＜

1

2

BC時(shí)，∠GAC=∠H＜∠HAC，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此時(shí)，△AGH不可能是等腰三角形，
②當(dāng)CG=

1

2

BC時(shí)，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合，△AGH是等腰三角形，
此時(shí)，GC=

9 2

2

，即x=

9 2

2

，
③當(dāng)CG＞

1

2

BC時(shí)，由（1）△AGC∽△HGA，
∴，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，若GH=AH，則AC=CG，此時(shí)x=9，
如圖3，當(dāng)CG=BC時(shí)，
注意：DF才旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，
此時(shí)B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
∴△AGH為等腰三角形，所以CG=9

2

．
綜上所述，當(dāng)x=9或x=

9 2

2

或9

2

時(shí)，△AGH是等腰三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，難易程度適中，是一道很典型的題目．