Question

9．已知，在平面直角從標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），C（m，6）為反比例函數(shù)$y=\frac{{12\sqrt{3}}}{x}$圖象上一點(diǎn)．將△AOB繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至△A′O′B處．
（1）求m的值；
（2）若O′落在OC上，連接AA′交OC與D點(diǎn)．①求證：四邊形ACA′O′為平行四邊形； ②求CD的長(zhǎng)度；
（3）直接寫(xiě)出當(dāng)AO′最短和最長(zhǎng)時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）只需把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，就可解決問(wèn)題；
（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸與H，如圖1，易證AC=OA=O′A′，要證四邊形ACA′O′為平行四邊形，只需證AC∥O′A′，只需證∠ACO=∠A′O′C即可；
②由平行四邊形ACA′O′可得CD=$\frac{1}{2}$CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB上時(shí)AO′最短（如圖2），當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)AO′最長(zhǎng)（如圖3）；過(guò)點(diǎn)O′作O′N(xiāo)⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥O′N(xiāo)于M，易證△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′N(xiāo)B，然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵C（m，6）為反比例函數(shù)$y=\frac{{12\sqrt{3}}}{x}$圖象上一點(diǎn)，
∴m=$\frac{12\sqrt{3}}{6}$=2$\sqrt{3}$；

（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸與H，如圖1．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，6），
∴CH=2$\sqrt{3}$，OH=6，
∴tan∠COH=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AC=$\sqrt{（6-4）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴∠COH=30°，OA=AC，
∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．
∵BO′=BO，
∴∠BO′O=∠BOO′=60°．
∵∠A′O′B=∠AOB=90°，
∴∠CO′A′=30°，
∴∠ACO=∠CO′A′，
∴AC∥O′A′．
又∵O′A′=OA=AC，
∴四邊形ACA′O′為平行四邊形； 
②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，
∴△BOB′是等邊三角形，
∴OO′=OB=2．
∵∠CHO=90°，CH=2$\sqrt{3}$，OH=6，
∴OC=4$\sqrt{3}$，
∴CO′=OC-OO′=4$\sqrt{3}$-2．
∵四邊形ACA′O′為平行四邊形，
∴CD=O′D=$\frac{1}{2}$CO′=2$\sqrt{3}$-1；
（3）當(dāng)AO′最短時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（2+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{8\sqrt{5}}{5}$），當(dāng)AO′最長(zhǎng)時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（2-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$）．
提示：①當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB上時(shí)，AO′最短，
過(guò)點(diǎn)O′作O′N(xiāo)⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥O′N(xiāo)于M，如圖2．

∵O′N(xiāo)∥OA，
∴△BNO′∽△BOA，
∴$\frac{BN}{BO}$=$\frac{O′N(xiāo)}{OA}$=$\frac{BO′}{BA}$，
∴$\frac{BN}{2}$=$\frac{O′N(xiāo)}{4}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴BN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，O′N(xiāo)=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′N(xiāo)B=90°，
∴∠MA′O′=∠NO′B，
∴△A′MO′∽△O′N(xiāo)B，
∴$\frac{A′M}{O′N(xiāo)}=\frac{O′M}{BN}=\frac{O′A′}{O′B}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴A′M=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，O′M=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴A′（2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）即（2+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{8\sqrt{5}}{5}$）；
②當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，AO′最長(zhǎng)，
過(guò)點(diǎn)O′作O′N(xiāo)⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥O′N(xiāo)于M，如圖3．

同理可得：A′（2-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理等知識(shí)，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解決第（2）②小題的關(guān)鍵，構(gòu)造K型相似是解決第（3）小題的關(guān)鍵．