【題目】已知拋物線y1ax22amx+am2+4,直線y2kxkm+4,其中a≠0a、km是常數(shù).

(1)拋物線的頂點坐標是______,并說明上述拋物線與直線是否經(jīng)過同一點(說明理由)

(2)a0,m=2t≤x ≤t+2,y1的最大值為4,求t的范圍;

(3)拋物線的頂點為P,直線與拋物線的另一個交點為Q,對任意的m值,若1≤k≤4,線段PQ(不包括端點)上至少存在兩個橫坐標為整數(shù)的點,求a的范圍.

【答案】(1)(m,4);拋物線與直線都經(jīng)過同一點(m,4),理由見解析; (2)0≤t≤2;(3) 或者

【解析】

(1)先把拋物線方程化為頂點式,得到頂點坐標,再求出直線y2kxkm+4恒過的頂點,即可求解;

(2) m=2時,,再結(jié)合t≤x ≤t+2y1的最大值為4,即可算出答案;

(3)聯(lián)立拋物線和一次函數(shù)的解析式,求出交點的橫坐標,再線段PQ(不包括端點)上至少存在兩個橫坐標為整數(shù)的點列不等式計算即可得到答案.

解:(1) 把拋物線y1ax22amx+am2+4化為頂點式為:

,

故頂點坐標為(m,4),

又∵直線y2kxkm+4=k(x-m)+4,

∴直線y2kxkm+4恒過點(m,4),

故拋物線與直線是否經(jīng)過同一點(m,4)

(2)m=2時,

∵a0,

∴拋物線開口向下,在x=2時取到最大值4,

又∵t≤x ≤t+2,y1的最大值為4,

0≤t≤2

(3) ,則有 =kxkm+4,解得 =m, =m+

∵線段PQ上至少存在兩個橫坐標為整數(shù)的點,k>0,

或者,

又∵1≤k≤4,

或者;

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