Question

如圖，拋物線y=ax²-3x+c交x軸正方向于A、B兩點，交y軸正方向于C點，過A、B、C三點作⊙D．若⊙D與y軸相切．
（1）求a、c滿足的關系式；
（2）設∠ACB=a，求tana；
（3）設拋物線頂點為P，判斷直線PA與⊙D的位置關系．

Answer 1

解：（1）由題意，拋物線y=ax²-3x+c交x軸正方向于A、B兩點，
∴A、B的橫坐標是方程ax²-3x+c=0的兩根，
設為x₁、x₂（x₂＞x₁），C的縱坐標是c，
又∵y軸與⊙D相切，
∴OA•OB=OC²．
∴x₁•x₂=c²
又由方程ax²-3x+c=0，知x₁•x₂=
∴c²=，即ac=1；

（2）連接PD，交x軸于E，直線PD必為拋物線的對稱軸，連接AD、BD，
∴AE=AB，∠ACB=∠ADB=∠ADE=a，
∵a＞0，x₂＞x₁，
∴AB=x₂-x₁=，
∴AE=，
又ED=OC=c，
∴；

（3）設∠PAB=β，
∵P點坐標為（）且a＞0，
∴在Rt△PAE中，PE=，
∴tanβ==，
∴tanβ=tanα，
∴β=α，
∴∠PAE=∠ADE，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠PAE+∠DAE=90°，
即∠PAD=90°，
∴PA和⊙D相切．
分析：（1）由題意，拋物線y=ax²-3x+c交x軸正方向于A、B兩點，即A、B的橫坐標是方程ax²-3x+c=0的兩根，再由圓的切割線定理，易求a，c的關系；
（2）作輔助線，連接PD，交x軸于E，連接AD、BD，根據(jù)幾何關系求出AE，DE的關系，從而求出tana的值；
（3）連接PA，求出P點坐標，在Rt△PAE中，求出β的正切值，從而判斷直線PA與⊙D的位置關系．
點評：此題考查了二次函數(shù)的基本性質和圓與直線的位置關系，把函數(shù)與方程聯(lián)系起來，把圓與拋物線聯(lián)系起來，主要運用圓的切割線定理，直角三角形的勾股定理，用的知識點多較為復雜．