Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（-3，0），B（0，m，），C（1，0）．
（1）求m值；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）．
①過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接AP，并以AP為邊作等腰直角△APQ，當(dāng)頂點(diǎn)Q恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-公式法,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的最值,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）只需把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c，就可求出拋物線的解析式，就可求出m的值．
（2）①易得△PDE是等腰直角三角形，PE最大時(shí)△PDE的周長(zhǎng)就最大．用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為a，則點(diǎn)P、E的縱坐標(biāo)就可用a的代數(shù)式表示，PE的長(zhǎng)度也就可以用a的代數(shù)式表示，然后運(yùn)用二次函數(shù)的最值性就可求出PE最大（即△PDE的周長(zhǎng)最大）時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②等腰直角△APQ的三邊都可能是底邊，故分三種情況進(jìn)行討論，然后構(gòu)造全等三角形，得到相等線段，然后用一個(gè)字母表示一條線段，從而將點(diǎn)P的坐標(biāo)用該字母表示，然后代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），C（1，0），
∴

-9-3b+c=0 -1+b+c=0

．
解得：

b=-2 c=3

．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
∵點(diǎn)B（0，m）在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴m=3．
∴m的值為3．

（2）①如圖1，
∵OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠AB0=45°．
∵PF⊥OA，PD⊥AB，
∴∠PDA=∠EFA=90°=∠AOB．
∴EF∥OB．
∴∠PED=∠ABO=45°．
∴PD=PE•sin45°=

2

2

PE，DE=PE•cos45°=

2

2

PE．
∴△PDE的周長(zhǎng)為（

2

+1）PE．
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
則有

-3m+n=0 n=3

．
解得：

m=1 n=3

．
∴直線AB的解析式為y=x+3．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為a．
∴y_P=-a²-2a+3，y_E=a+3．
∴PE=y_P-y_E=（-a²-2a+3）-（a+3）
=-a²-3a
=-（a+

3

2

）²+

9

4

．
∵-1＜0，
∴當(dāng)a=-

3

2

時(shí)，PE取到最大值，△PDE的周長(zhǎng)也就取到最大值．
此時(shí)y_P=-（-

3

2

）²-2×（-

3

2

）+3=

15

4

．
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

3

2

，

15

4

）時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)取到最大值．
②Ⅰ．若AQ為等腰直角△APQ的底邊，如圖2，
則有AP=PQ，∠APQ=90°．
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OA，垂足為G，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥QH，垂足為T，
∵∠PGH=∠GHT=PTH=90°，
∴四邊形PGHT是矩形．
∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT．
∴∠APG=90°-∠GPQ=∠TPQ．
在△AGP和△QTP中，

∠APG=∠TPQ ∠AGP=∠QTP PA=PQ

．
∴△AGP≌△QTP．
∴AG=TQ，PG=PT．
∴PG=GH．
∵拋物線y=-x²-2x+3的對(duì)稱軸為x=-

-2

2×(-1)

=-1，
∴OH=1．
設(shè)PG=t（t＞0），則OG=GH+OH=PG+OH=t+1．
∵點(diǎn)P在第二象限，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-t-1，t）．
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴t=-（-t-1）²-2（-t-1）+3．
整理得：t²+t-4=0．
解得：t₁=

-1- 17

2

（舍去），t₂=

-1+ 17

2

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

-1- 17

2

，

-1+ 17

2

）．
Ⅱ．若PQ為等腰直角△APQ的底邊，如圖3，
則有AP=AQ，∠PAQ=90°．
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OA，垂足為G，
則有∠APG=90°-∠PAG=∠HAQ．
在△AGP和△QHA中，

∠APG=∠HAQ ∠AGP=∠QHA=90° AP=AQ

．
∴△AGP≌△QHA．
∴PG=AH．
∵AH=AO-OH=3-1=2，
∴PG=2．
∴y_P=2．
解-x²-2x+3=2得x₁=-1-

2

，x₂=-1+

2

．
∵點(diǎn)P在第二象限，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1-

2

，2）．
Ⅲ．若AP為等腰直角△APQ的底邊，如圖4，
則有AQ=PQ，∠AQP=90°．
過(guò)點(diǎn)P作PT⊥QH，垂足為T，
則有∠AQH=90°-∠PQT=∠TPQ．
在△AHQ和△QTP中，

∠AQH=∠TPQ ∠AHQ=∠QTP QA=QP

．
∴△AHQ≌△QTP．
∴AH=QT，QH=PT．
∵AH=2，
∴QT=2．
設(shè)QH=PT=p（p＞0），則TH=p+2，
∵點(diǎn)P在第二象限，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-p-1，p+2）．
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴p+2=-（-p-1）²-2×（-p-1）+3．
整理得：p²+p-2=0．
解得：p₁=-2（舍去），p₂=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，3）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

-1- 17

2

，

-1+ 17

2

）、（-1-

2

，2）、（-2，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值性、全等三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、等腰直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，還考查了分類討論的思想，有較強(qiáng)的綜合性，有一定的難度．而正確分類及構(gòu)造全等三角形是解決最后一小題的關(guān)鍵．