Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，E是邊BC的中點(diǎn)，連接EF．
（1）求證：2EF=CD；
（2）當(dāng)EF與BC滿足

 

時(shí)，四邊形ABCD是矩形；
（3）當(dāng)EF與BC滿足

 

時(shí)，四邊形ABCD是菱形，并證明你的結(jié)論；
（4）當(dāng)EF與BC滿足

 

時(shí)，四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,三角形中位線定理,平行四邊形的性質(zhì),菱形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）利用三角形中位線定理以及其性質(zhì)判斷得出即可；
（2）利用矩形的判定方法得出即可；
（3）利用菱形的判定方法得出即可；
（4）利用正方形的判定方法得出即可．

解答：（1）證明：∵平行四邊形ABCD，
∴點(diǎn)F為AC，BD的中點(diǎn)，
又∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EF為△DBC的中位線，
∴2EF=CD；

（2）EF⊥BC；
理由：∵EF為△DBC的中位線，EF⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形；
故答案為：EF⊥BC；

（3）BC=2EF，
理由：∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且BC=2EF
∴EF=BE=EC，
∴∠EBF=∠BFE，∠EFC=∠ECF
又∵∠EBF+∠BFE+∠EFC+∠ECF=180°
∴∠BFC=∠BFE+∠EFC=90°，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
故答案為：BC=2EF；

（4）EF⊥BC且BC=2EF．
理由：由（2）（3）可得：
當(dāng)EF與BC滿足EF⊥BC且BC=2EF時(shí)，四邊形ABCD是正方形．
故答案為：EF⊥BC且BC=2EF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形中位線定理以及菱形和矩形以及正方形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理是解題關(guān)鍵．