Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸1為．

（1）求拋物線的解析式并寫(xiě)出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)的拋物線上，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸1上．

①當(dāng)，且時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)為（﹣1，4）；（2）①；②，．

【解析】

（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）①由PA⊥NA，且PA=NA，可證△PAD≌△ANQ（AAS），則PD=AQ，PD=AQ=AO-QO=3-1=2，即：即y=-x2-2x+3=2，即可求解；

②利用S四邊形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA，求解即可．

解：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得，

故：拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；

（2）∵A（﹣3，0），B（1，0），

OA＝3，OB＝1，

如解圖，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于點(diǎn)Q，連接AC，OP，

①∵點(diǎn)P在y＝﹣x2﹣2x+3上，

∴設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣2x+3），

∵PA⊥NA，且PA＝NA，

∴∠PAD+∠APD＝∠PAD+∠NAQ＝90°，

∴∠APD＝∠NAQ，

又∵∠PDA＝∠AQN＝90°，

∴△PAD≌△ANQ（AAS），

∴PD＝AQ，

∴PD＝AQ＝AO﹣QO＝3﹣1＝2

即：y＝﹣x2﹣2x+3＝2

解得：（舍去）或

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為；

②連接OP，設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3），且﹣3＜x＜0

S四邊形PABC＝S△OBC+S△CPO+S△POA

∵，

又﹣3＜x＜0，所以，

∴S四邊形PABC＝S△OBC+S△CPO+S△POA

，

∴當(dāng)時(shí)，S四邊形PABC最大為，

此時(shí)．