Question

如圖12, 已知二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)O(0,0),  A(4，0)，B()，M是OA的中點(diǎn).

（1）求此二次函數(shù)的解析式;

（2）設(shè)P是拋物線上的一點(diǎn),過(guò)P作軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)Q，要使四邊形PQAM是菱形,求P點(diǎn)的坐標(biāo);

圖12

（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線OB′A(B′為B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)),在原拋物線軸的上方部分取一點(diǎn)C，連接CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點(diǎn)D,若△CDA的面積是△MDA面積的2倍,這樣的點(diǎn)C是否存在?若存在求出C點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解: （1）方法一：設(shè)二次函數(shù)的解析式為

則

∴  

方法二：∵圖像過(guò)點(diǎn)O(0,0), A（4，0），

∴設(shè),

又B()在曲線上,∴,∴

∴                         

（2）∵M是OA的中點(diǎn),OA=4,∴MA=2,

若四邊形PQAM是菱形,則PQ=2,

又根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,即P、Q關(guān)于直線對(duì)稱,

∴P的橫坐標(biāo)為1, Q的橫坐標(biāo)為3.         

∴P的坐標(biāo)為(1,, Q的橫坐標(biāo)為(3,.

而計(jì)算PM=,故所求的P(1,滿足四邊形PQAM是菱形  

（3）設(shè)存在這樣的C點(diǎn).設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為

∵二次函數(shù)在軸下方的部分向上翻折,得曲線OB′A,

∴曲線OB′A的解析式為

若△CDA的面積是△MDA面積的2倍,

∴△CMA的面積是△MDA面積的3倍,

∴， ∴,即,

∴……………①                                   

過(guò)D,C分別作DD₁,CC₁垂直于軸,

∴△MD₁D∽△MC₁C,

∴,∴

即………………②                

將②代入①得:

,代入二次函數(shù)的解析式得

故C的坐標(biāo)為,或.