Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，A點的坐標(biāo)為（-4，0），拋物線y=ax²-2x經(jīng)過點A．動點P從O點出發(fā)，沿y軸的負(fù)半軸運動，速度為1個單位/秒，過點P做y軸的垂線，交拋物線于點B、C，點B在左側(cè)，設(shè)運動時間為t秒．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)線段BC的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接OB、OC，點D為OP上一點，tan∠BOC=$\frac{BC}{OD}$，當(dāng)t為何值時，PD=PC？

Answer 1

分析 （1）把點A代入拋物線y=ax²-2x即可求出a．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-t}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到：x²+4x-2t=0，x₁+x₂=-4，x₁x₂=-2t，BC=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可解決問題．
（3）如圖作BM⊥OC交OP于D，垂足為M，證明△DOM∽△CBM得到PB=OP，設(shè)B（m，m），代入拋物線解析式得m=-$\frac{1}{2}$m²-2m即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2x經(jīng)過點A（-4，0），
∴0=16a+8，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-2x．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-t}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到：x²+4x-2t=0，
∵x₁+x₂=-4，x₁x₂=-2t
∴BC=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{16+8t}$，（t＞0），
（3）如圖作BM⊥OC交OP于D，垂足為M．
∵∠OMD=∠BMC=90°，
∴∠DOM+∠OCP=90°，∠CBM+∠OCP=90°，
∴∠DOM=∠CBM，
∴△DOM∽△CBM，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{OM}{BM}$
∵tan∠BOC=$\frac{BC}{OD}$=$\frac{BM}{OM}$，
∴點D就是滿足條件tan∠BOC=$\frac{BC}{OD}$的點D，
在△OPC和△BPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POC=∠PBD}\\{∠OPC=∠BPD}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△OPC≌△BPD，
∴PB=OP，
設(shè)B（m，m）代入拋物線解析式得m=-$\frac{1}{2}$m²-2m解得m=-6（或0舍棄），
∴B（-6，-6），OP=6，
∴t=6時PD=PC．

點評 本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式、方程組與二次函數(shù)之間的關(guān)系、根與系數(shù)關(guān)系、以及相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合性很強(qiáng)，有一定難度．學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想去思考問題，通過轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)點D的位置，找到OP=PB這個重要條件．