【題目】小華思考解決如下問題:

原題:如圖1,點(diǎn)PQ分別在菱形ABCD的邊BC,CD上,∠PAQ=∠B,求證:APAQ

1)小華進(jìn)行探索,若將點(diǎn)PQ的位置特殊化:把∠PAQ繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到∠EAF,使AEBC,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,如圖2.此時(shí)她證明了AEAF,請你證明;

2)由以上(1)的啟發(fā),在原題中,添加輔助線:如圖3,作AEBCAFCD,垂足分別為E,F.請你繼續(xù)完成原題的證明;

3)如果在原題中添加條件:AB4,∠B60°,如圖1,求四邊形APCQ的周長的最小值.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3.

【解析】

1)根據(jù)四邊形ABCD是菱形,首先證明∠B=∠D,ABAD,再結(jié)合題意證明,進(jìn)而證明△AEB≌△AFD,即可證明AEAF.

2)根據(jù)(1)的證明,再證明△AEP≌△AFQASA),進(jìn)而證明APAQ.

3)根據(jù)題意連接AC,則可證明△ABC為等邊三角形,再計(jì)算AE的長度,則可計(jì)算長APCQ的周長的最小值.

1)證明:如圖2,∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠B+C180°,∠B=∠DABAD,

∵∠EAF=∠B,

∴∠EAF+C180°,

∴∠AEC+AFC180°,

AEBC,

AFCD

AEBAFD中,

,

∴△AEB≌△AFDAAS),

AEAF

2)證明:如圖3,由(1)得,∠PAQ=∠EAF=∠B,AEAF,

∴∠EAP=∠FAQ,

AEPAFQ中,

∴△AEP≌△AFQASA),

APAQ;

3)解:如圖4,連接AC,

∵∠ABC60°,BABC4

∴△ABC為等邊三角形,

AEBC

BEEC2,

同理,CFFD2,

AE2

∴四邊形APCQ的周長=AP+PC+CQ+AQ2AP+CP+CF+FQ2AP+2CF,

CF是定值,當(dāng)AP最小時(shí),四邊形APCQ的周長最小,

∴當(dāng)APAE時(shí),四邊形APCQ的周長最小,此時(shí)四邊形APCQ的周長的最小值=2×2+44+4

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(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式.

(2)AB的中點(diǎn)為D,請判斷點(diǎn)D是否在該反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由.

(3)P(ab)是反比例函數(shù)y的圖象(x0)的一點(diǎn),且SPOCSDOC,則a的取值范圍為_____

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(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式;

(2)判斷點(diǎn)B(1,6),C(3,2)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上,并說明理由;

(3)當(dāng)3<x<1時(shí),求y的取值范圍.

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【題目】老師在黑板上出了一道解方程的題,小明馬上舉手,要求到黑板上做,他是這樣做的:

……………… …①

…………………… …②

…………………… …③

………………………………… ④

………………………………… ⑤

老師說:小明解一元一次方程的一般步驟都知道卻沒有掌握好,因此解題時(shí)有一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤,請你指出他錯(cuò)在 (填編號(hào));

然后,你自己細(xì)心地解下面的方程:

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(1)求本次被抽查的學(xué)生共有多少名?

(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“”所在的扇形圓心角的度數(shù);

(4)估計(jì)全!”等級的學(xué)生有多少名?

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