Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)A在y軸上，坐標(biāo)為（0，﹣1），另一頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，0），已知二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．現(xiàn)將一把直尺放置在直角坐標(biāo)系中，使直尺的邊A′D′∥y軸且經(jīng)過點(diǎn)B，直尺沿x軸正方向平移，當(dāng)A′D′與y軸重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若運(yùn)動(dòng)過程中直尺的邊A′D′交邊BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN長度的最大值；
（3）如圖②，設(shè)點(diǎn)P為直尺的邊A′D′上的任一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點(diǎn)，試探究：在直尺平移的過程中，當(dāng)PQ= 時(shí)，線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．請直接寫出結(jié)論，并指出相應(yīng)的點(diǎn)P與拋物線的位置關(guān)系．
（說明：點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可分為三類，例如，圖②中，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D′在拋物線外．）

Answer 1

【答案】
（1）

如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，此時(shí)△CDA≌△AOB，

∵△CDA≌△AOB，

∴AD=BO=2，CD=AO=1，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（﹣1，﹣3）．

將B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3）代入拋物線y= x2+bx+c，

解得 b= ，c=﹣3，

∴拋物線的解析式為y= x2+ x﹣3．

（2）

設(shè)lBC：y=kx+b，

∵B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），

∴ ，

解得 ，

∴l(xiāng)BC：y=﹣3x﹣6，

設(shè)M（xM，﹣3xM﹣6），N（xN， xN2+ xN﹣3），

∵xM=xN（記為x），yM≥yN，

∴線段MN長度=﹣3x﹣6﹣（ x2+ x﹣3）=﹣ （x+ ）2+ ，（﹣2≤x≤﹣1），

∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，線段MN長度為最大值 ．

（3）

答：P在拋物線外時(shí)，BP+CP= AP；P在拋物線上時(shí)，BP+CP= AP；P在拋物線內(nèi)，PC﹣PB= PA．

分析如下：

如圖2，以Q點(diǎn)為圓心， 為半徑作⊙Q，

∵OB=2，OA=1，

∴AC=AB= = ，

∴BC= = ，

∴BQ=CQ= ，

∵∠BAC=90°，

∴點(diǎn)B、A、C都在⊙Q上．

①P在拋物線外，

如圖3，圓Q與BD′的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，連接PB，PC，PA，延長PC交y軸于點(diǎn)D

∵BC為直徑，

∴∠BPC=90°

∵BD′與y軸平行

∴∠ADC=90°，且D點(diǎn)為拋物線與y軸交點(diǎn)

∴PD∥x軸

易得PC=1，PB=3，PA=2

∴BP+CP= AP．

②P在拋物線上，此時(shí)，P只能為B點(diǎn)或者C點(diǎn)，

∵AC=AB= ，

∴AP= ，

∵BP+CP=BC= ，

∴BP+CP= AP．

③P在拋物線內(nèi)，有兩種情況，如圖4，5，

如圖4，在PC上取BP=PT，

∵BC為直徑，

∴∠BPC=90°

∴△BPT為等腰直角三角形

∴∠PBT=45°=∠1+∠2

∵∠ABC=∠3+∠2=45°

∴∠1=∠3

∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）

∴△BPA∽△BTC

∴

∵PC=PT+CT

∴PC=PT+ PA=PB+ PA

∴PC﹣PB= PA

同理，如圖5，也可得PB﹣PC= PA．

【解析】（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)，考慮作x，y軸垂線，表示橫縱坐標(biāo)，易得△CDA≌△AOB，所以C點(diǎn)坐標(biāo)易知．進(jìn)而拋物線解析式易得．（2）橫坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)距離，可以用這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)作差，因?yàn)閮牲c(diǎn)分別在直線BC與拋物線上，故可以利用解析式，設(shè)橫坐標(biāo)為x，表示兩個(gè)縱坐標(biāo)．作差記得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用最值性質(zhì)，結(jié)果易求．（3）計(jì)算易得，BC= ，因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，PQ= 恰為半徑，則易作圓，P點(diǎn)必在圓上．分三種情況進(jìn)行解答．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．