【題目】如圖1,已知拋物線Ly=ax2+bx1.5(a0)x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,頂點(diǎn)為M,對稱軸為直線lx=1.

1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)及一元二次方程ax2+bx1.5=0的解.

2)求拋物線L的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將拋物線L平移.使它的頂點(diǎn)移至點(diǎn)P,得到新拋物線L′,L′與直線l相交于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m

①當(dāng)m=5時(shí),PMPN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.

②當(dāng)m為大于1的任意實(shí)數(shù)時(shí),①中的關(guān)系式還成立嗎?為什么?

③是否存在這樣的點(diǎn)P,使PMN為等邊三角形?若存在.請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1x1=1,x2=3;(2y=0.5x2x1.5,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣2);(3)①PM=PN;理由見解析;②PM=PN仍然成立.理由見解析;③點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣).

【解析】

1)由y=ax2+bx-1.5a0)與x軸交于點(diǎn)A-1,0)和點(diǎn)B,對稱軸為直線lx=1,根據(jù)拋物線的對稱性可求得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系可得A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的值即為一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解;

2)把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx-1.5,得到關(guān)于a、b的二元一次方程組,解方程組求出a、b的值,得到拋物線L的解析式,再利用配方法化為頂點(diǎn)式,即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

3)作PCl于點(diǎn)C

①根據(jù)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)及(2)中所求解析式,當(dāng)m=5時(shí),把x=5代入y=x-12-2,求出y=6,得到P點(diǎn)坐標(biāo),從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo),由點(diǎn)P為新拋物線L′的頂點(diǎn)及解析式平移的規(guī)律得出L′的解析式,再求出點(diǎn)N的坐標(biāo),通過計(jì)算得出CM=CN,然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出PM=PN;

②根據(jù)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)及(2)中所求解析式,得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2-m-1.5),從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo),由點(diǎn)P為新拋物線L′的頂點(diǎn)及解析式平移的規(guī)律得出L′的解析式為y=x-m2+m2-m-1.5,再求出點(diǎn)N的坐標(biāo),通過計(jì)算得出CM=CN,然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出PM=PN

③當(dāng)PMN為等邊三角形時(shí),根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出PC平分∠MPN,即∠CPN=30°,利用正切函數(shù)定義得出=tan30°,即m2-m+1.5=m-1),解方程求出m的值,進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

1)如圖1,

y=ax2+bx-1.5a0)與x軸交于點(diǎn)A-1,0)和點(diǎn)B,對稱軸為直線lx=1,

∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線lx=1對稱,

∴點(diǎn)B3,0),

∴一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解為x1=-1x2=3;

2)把A-1,0),B3,0)代入y=ax2+bx-1.5,

解得,

拋物線L的解析式為y=x2-x-1.5,

配方得,y=x-12-2,

所以頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2);

3)如圖2,作PCl于點(diǎn)C

①∵y=x-12-2

∴當(dāng)m=5,即x=5時(shí),y=6,

P5,6),

∴此時(shí)L′的解析式為y=x-52+6,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,6).

∵當(dāng)x=1時(shí),y=14,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是(1,14).

CM=6--2=8CN=14-6=8,

CM=CN

PC垂直平分線段MN,

PM=PN;

PM=PN仍然成立.

由題意有點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2-m-1.5).

L′的解析式為y=x-m2+m2-m-1.5,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,m2-m-1.5),

CM=m2-m-1.5+2=m2-m+

∵在L′的解析式y=x-m2+m2-m-1.5中,

∴當(dāng)x=1時(shí),y=m2-2m-1,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是(1,m2-2m-1),

CN=m2-2m-1-m2-m-1.5=m2-m+,

CM=CN

PC垂直平分線段MN,

PM=PN;

③存在這樣的點(diǎn)P,使PMN為等邊三角形.

=tan30°,則m2-m+=m-1),

解得m=,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,-).

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1)求證:△BED∽△ABD;

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⑴如果該廠安排280人生產(chǎn)這兩種板材,每人每天能生產(chǎn)A種板材60 m2B種板材40 m2,請問:應(yīng)分別安排多少人生產(chǎn)A種板材和B種板材,才能確保同時(shí)完成各自的生產(chǎn)任務(wù)?

⑵某災(zāi)民安置點(diǎn)計(jì)劃用該廠生產(chǎn)的兩種板材搭建甲、乙兩種規(guī)格的板房共400間,已知建設(shè)一間甲型板房和一間乙型板房所需板材及安置人數(shù)如下表所示:

板房

A種板材(m2)

B種板材(m2)

安置人數(shù)

甲型

110

61

12

乙型

160

53

10

①共有多少種建房方案可供選擇?

②若這個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn)有4700名災(zāi)民需要安置,這400間板房能否滿足需要?若不能滿足請說明理由;若能滿足,請說明應(yīng)選擇什么方案.

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根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:

(1)求參加演唱比賽的學(xué)生共有多少人,并把條形圖補(bǔ)充完整;

(2)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m= ,n= ;

(3)求出C等級對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù).

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2)如圖2,將DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠αα360°),得到D′E′C,連接AD′、BE′.邊D′E′的中點(diǎn)為P

①在旋轉(zhuǎn)過程中,AD′BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;

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