【題目】如圖1,已知拋物線L:y=ax2+bx﹣1.5(a>0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,頂點(diǎn)為M,對稱軸為直線l:x=1.
(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)及一元二次方程ax2+bx﹣1.5=0的解.
(2)求拋物線L的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將拋物線L平移.使它的頂點(diǎn)移至點(diǎn)P,得到新拋物線L′,L′與直線l相交于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m
①當(dāng)m=5時(shí),PM與PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.
②當(dāng)m為大于1的任意實(shí)數(shù)時(shí),①中的關(guān)系式還成立嗎?為什么?
③是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PMN為等邊三角形?若存在.請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)x1=﹣1,x2=3;(2)y=0.5x2﹣x﹣1.5,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣2);(3)①PM=PN;理由見解析;②PM=PN仍然成立.理由見解析;③點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣).
【解析】
(1)由y=ax2+bx-1.5(a>0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,對稱軸為直線l:x=1,根據(jù)拋物線的對稱性可求得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系可得A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的值即為一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解;
(2)把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx-1.5,得到關(guān)于a、b的二元一次方程組,解方程組求出a、b的值,得到拋物線L的解析式,再利用配方法化為頂點(diǎn)式,即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)作PC⊥l于點(diǎn)C.
①根據(jù)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)及(2)中所求解析式,當(dāng)m=5時(shí),把x=5代入y=(x-1)2-2,求出y=6,得到P點(diǎn)坐標(biāo),從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo),由點(diǎn)P為新拋物線L′的頂點(diǎn)及解析式平移的規(guī)律得出L′的解析式,再求出點(diǎn)N的坐標(biāo),通過計(jì)算得出CM=CN,然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出PM=PN;
②根據(jù)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)及(2)中所求解析式,得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2-m-1.5),從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo),由點(diǎn)P為新拋物線L′的頂點(diǎn)及解析式平移的規(guī)律得出L′的解析式為y=(x-m)2+m2-m-1.5,再求出點(diǎn)N的坐標(biāo),通過計(jì)算得出CM=CN,然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出PM=PN;
③當(dāng)△PMN為等邊三角形時(shí),根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出PC平分∠MPN,即∠CPN=30°,利用正切函數(shù)定義得出=tan30°,即m2-m+1.5=(m-1),解方程求出m的值,進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo).
(1)如圖1,
∵y=ax2+bx-1.5(a>0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,對稱軸為直線l:x=1,
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線l:x=1對稱,
∴點(diǎn)B(3,0),
∴一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解為x1=-1,x2=3;
(2)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-1.5,
得,
解得,
拋物線L的解析式為y=x2-x-1.5,
配方得,y=(x-1)2-2,
所以頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2);
(3)如圖2,作PC⊥l于點(diǎn)C.
①∵y=(x-1)2-2,
∴當(dāng)m=5,即x=5時(shí),y=6,
∴P(5,6),
∴此時(shí)L′的解析式為y=(x-5)2+6,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,6).
∵當(dāng)x=1時(shí),y=14,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是(1,14).
∵CM=6-(-2)=8,CN=14-6=8,
∴CM=CN.
∵PC垂直平分線段MN,
∴PM=PN;
②PM=PN仍然成立.
由題意有點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2-m-1.5).
∵L′的解析式為y=(x-m)2+m2-m-1.5,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,m2-m-1.5),
∴CM=m2-m-1.5+2=m2-m+.
∵在L′的解析式y=(x-m)2+m2-m-1.5中,
∴當(dāng)x=1時(shí),y=m2-2m-1,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是(1,m2-2m-1),
∴CN=(m2-2m-1)-(m2-m-1.5)=m2-m+,
∴CM=CN.
∵PC垂直平分線段MN,
∴PM=PN;
③存在這樣的點(diǎn)P,使△PMN為等邊三角形.
若=tan30°,則m2-m+=(m-1),
解得m=,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,-).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在△ABC中,AB=9,BC=12,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)AD,AD=9,點(diǎn)E在AD邊上,且,聯(lián)結(jié)BE.
(1)求證:△BED∽△ABD;
(2)聯(lián)結(jié)CE,求∠CED 的正切值.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠C=90°,以AB為直徑的⊙O交AD于點(diǎn)E,CD=ED,連接BD交⊙O于點(diǎn)F.
(1)求證:BC與⊙O相切;
(2)若BD=10,AB=13,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四川省蘆山縣4月20日發(fā)生了7.0級強(qiáng)烈地震,政府為了盡快搭建板房安置災(zāi)民,給某廠下達(dá)了生產(chǎn)A種板材48000m2和B種板材24000m2的任務(wù).
⑴如果該廠安排280人生產(chǎn)這兩種板材,每人每天能生產(chǎn)A種板材60 m2或B種板材40 m2,請問:應(yīng)分別安排多少人生產(chǎn)A種板材和B種板材,才能確保同時(shí)完成各自的生產(chǎn)任務(wù)?
⑵某災(zāi)民安置點(diǎn)計(jì)劃用該廠生產(chǎn)的兩種板材搭建甲、乙兩種規(guī)格的板房共400間,已知建設(shè)一間甲型板房和一間乙型板房所需板材及安置人數(shù)如下表所示:
板房 | A種板材(m2) | B種板材(m2) | 安置人數(shù) |
甲型 | 110 | 61 | 12 |
乙型 | 160 | 53 | 10 |
①共有多少種建房方案可供選擇?
②若這個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn)有4700名災(zāi)民需要安置,這400間板房能否滿足需要?若不能滿足請說明理由;若能滿足,請說明應(yīng)選擇什么方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行了“校園好聲音”演唱比賽活動(dòng),根據(jù)學(xué)生的成績劃分為A、B、C、D四個(gè)等級,并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)求參加演唱比賽的學(xué)生共有多少人,并把條形圖補(bǔ)充完整;
(2)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m= ,n= ;
(3)求出C等級對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC 頂點(diǎn) A(2,3).若以原點(diǎn) O 為位似中心,畫三角形 ABC
的位似圖形△A′B′C′,使△ABC 與△A′B′C′的相似比為,則 A′的坐標(biāo)為( )
A. (3, ) B. ( ,6) C. (3, )或(-3,- ) D. ( ,6)或(- ,-6)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】邊長為6的等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上,DE∥AB,EC=2.
(1)如圖1,將△DEC沿射線EC方向平移,得到△D′E′C′,邊D′E′與AC的交點(diǎn)為M,邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點(diǎn)N,當(dāng)CC′多大時(shí),四邊形MCND′為菱形?并說明理由.
(2)如圖2,將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,連接AD′、BE′.邊D′E′的中點(diǎn)為P.
①在旋轉(zhuǎn)過程中,AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;
②連接AP,當(dāng)AP最大時(shí),求AD′的值.(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,已知:AB為⊙O直徑,PQ與⊙O交于點(diǎn)C,AD⊥PQ于點(diǎn)D,且AC為∠DAB的平分線,BE⊥PQ于點(diǎn)E.
(1)求證:PQ與⊙O相切;
(2)求證:點(diǎn)C是DE的中點(diǎn).
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【題目】某商場一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元,售價(jià)為每件40元.每天可以銷售48件,為盡快減少庫存,商場決定降價(jià)促銷.
(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件32.4元,求兩次下降的百分率;
(2)經(jīng)調(diào)查,若每降價(jià)0.5元,每天可多銷售4件,那么每天要想獲得510元的利潤,每件應(yīng)降價(jià)多少元?
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