Question

已知關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求證：無(wú)論k取任意實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）若等腰三角形ABC的一邊a=1，另兩邊長(zhǎng)b、c恰是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

證明：（1）∵△=b²-4ac=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∴無(wú)論k取任意實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根．

解：（2）分兩種情況：
①若b=c，
∵方程x²-（k+2）x+2k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（k-2）²=0，
解得k=2，
∴此時(shí)方程為x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，
∴△ABC的周長(zhǎng)為5；
②若b≠c，則b=a=1或c=a=1，即方程有一根為1，
∵把x=1代入方程x²-（k+2）x+2k=0，得1-（k+2）+2k=0，
解得k=1，
∴此時(shí)方程為x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
∴方程另一根為2，
∵1、1、2不能構(gòu)成三角形，
∴所求△ABC的周長(zhǎng)為5．
綜上所述，所求△ABC的周長(zhǎng)為5．
分析：（1）把一元二次方程根的判別式轉(zhuǎn)化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論求出b，c的長(zhǎng)，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)，綜合后求出△ABC的周長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：考查根的判別式，等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系．