Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，對(duì)稱軸為的拋物線過(guò)兩點(diǎn)，且交軸于另一點(diǎn)，連接．

（1）直接寫出點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)（點(diǎn)除外），使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．

【解析】

（1）y=x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=6，故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（6，0）、（0，3），即可求解；

（2）PH=PGcosα=,即可求解；

（3）分點(diǎn)Q在x軸上方、點(diǎn)Q在x軸下方兩種情況，分別求解．

（1），令，則，令，則，

故點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，

拋物線的對(duì)稱軸為，則點(diǎn)，

則拋物線的表達(dá)式為：，

即，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：

（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線BC的表達(dá)式為：，

則，，則，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

則

∵，故有最小值，此時(shí)，

則點(diǎn)；

（3）①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，

則點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與全等，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱，

則點(diǎn)；

②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，

為頂點(diǎn)的三角形與相似，則，

當(dāng)時(shí)，

直線BC表達(dá)式的值為，則直線表達(dá)式的值為，

設(shè)直線表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線的表達(dá)式為：…②，

聯(lián)立①②并解得：或﹣8（舍去6），

故點(diǎn)坐標(biāo)為（舍去）；

當(dāng)時(shí)，

同理可得：直線的表達(dá)式為：…③，

聯(lián)立①③并解得：或﹣10（舍去6），

故點(diǎn)坐標(biāo)為，

由點(diǎn)的對(duì)稱性，另外一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或 或．