【題目】課題:兩個重疊的正多邊形,其中的一個繞某一頂點旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題.
實驗與論證:
設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A1A0B1=α(α<∠A1A0A2),θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如圖所示.
(1)用含α的式子表示角的度數(shù):θ3= ,θ4= ,θ5= ;
(2)圖1﹣圖4中,連接A0H時,在不添加其他輔助線的情況下,是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段?若存在,請選擇其中的一個圖給出證明;若不存在,請說明理由;
歸納與猜想:
設(shè)正n邊形A0A1A2…An﹣1與正n邊形A0B1B2…Bn﹣1重合(其中,A1與B1重合),現(xiàn)將正多邊形A0B1B2…Bn﹣1繞頂點A0逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<°);
(3)設(shè)θn與上述“θ3、θ4、…”的意義一樣,請直接寫出θn的度數(shù);
(4)試猜想在正n邊形的情形下,是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段?若存在,請將這條線段用相應(yīng)的頂點字母表示出來(不要求證明);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)60°﹣α,α,36°﹣α;(2)存在,證明見詳解;(3)當(dāng)n為奇數(shù)時,θn=﹣α;當(dāng)n為偶數(shù)時,θn=α;(4)存在.當(dāng)n為奇數(shù)時,直線A0H垂直平分,當(dāng)n為偶數(shù)時,直線A0H垂直平分
【解析】
(1)由正三角形的性質(zhì)得α+θ3=60°,再由正方形的性質(zhì)得θ4=45°﹣(45°﹣α)=α,最后由正五邊形的性質(zhì)得θ5=108°﹣36°﹣36°﹣α=36°﹣α;
(2)存在,如在圖1中直線A0H垂直且平分的線段A2B1,△A0A1A2≌△A0B1B2,推得A2H=B1H,則點H在線段A2B1的垂直平分線上;由A0A2=A0B1,則點A0在線段A2B1的垂直平分線上,從而得出直線A0H垂直且平分的線段A2B1
(3)當(dāng)n為奇數(shù)時,θn=﹣α;
當(dāng)n為偶數(shù)時,θn=α
(4)多寫幾個總結(jié)規(guī)律:
當(dāng)n為奇數(shù)時,直線A0H垂直平分,
當(dāng)n為偶數(shù)時,直線A0H垂直平分.
解:(1) ∵三角形的性質(zhì)得α+θ3=60°,
∴θ3=60°﹣α,
由正方形的性質(zhì)得θ4=45°﹣(45°﹣α)=α,
由正五邊形的性質(zhì)得θ5=108°﹣36°﹣36°﹣α=36°﹣α,
故答案為60°﹣α;α;36°﹣α;
(2)存在.下面就所選圖形的不同分別給出證明:
選圖如,
圖中有直線A0H垂直平分A2B1,證明如下:
方法一:
證明:∵△A0A1A2與△A0B1B2是全等的等邊三角形
∴A0A2=A0B1
∴∠A0A2B1=∠A0B1A2,
又∠A0A2H=∠A0B1H=60°
∴∠HA2B1=∠HB1A2
∴A2H=B1H,∴點H在線段A2B1的垂直平分線上
又∵A0A2=A0B1,∴點A0在線段A2B1的垂直平分線上
∴直線A0H垂直平分A2B1
方法二:
證明:∵△A0A1A2與△A0B1B2是全等的等邊三角形
∴A0A2=A0B2,
∴∠A0A2B1=∠A0B1A2,
又∠A0A2H=∠A0B1H=60°,
∴∠HA2B1=∠HB1A2
∴A2H=B1H,
在△A0A2H與△A0B1H中
∵A0A2=A0B1,
HA2=HB1,∠A0A2H=∠A0B1H
∴△A0A2H≌△A0B1H
∴∠A0A2H=∠A0B1H,
∴A0H是等腰三角形A0A2B1的角平分線,
∴直線A0H垂直平分A2B1選圖如,
圖中有直線A0H垂直平分A2B2,證明如下:
∵A0B2=A0A2∴∠A0B2A2=∠A0A2B2
又∵∠A0B2B1=∠A0A2A3
∴∠HB2A2=∠HA2B2
∴HB2=HA2
∴點H在線段A2B2的垂直平分線上
又∵A0B2=A0A2,∴點A0在線段A2B2的垂直平分線上
∴直線A0H垂直平分A2B2
(3)當(dāng)n為奇數(shù)時,θn=﹣α;
當(dāng)n為偶數(shù)時,θn=α.
(4)存在.
當(dāng)n為奇數(shù)時,直線A0H垂直平分,
當(dāng)n為偶數(shù)時,直線A0H垂直平分
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個不透明的布袋中有完全相同的三個小球,把它們分別標(biāo)號為1,2,3. 小林和小華做一個游戲,按照以下方式抽取小球:先從布袋中隨機抽取一個小球,記下標(biāo)號后放回布袋中攪勻,再從布袋中隨機抽取一個小球, 記下標(biāo)號. 若兩次抽取的小球標(biāo)號之和為奇數(shù),小林贏;若標(biāo)號之和為偶數(shù),則小華贏.
(1)用畫樹狀圖或列表的方法,列出前后兩次取出小球上所標(biāo)數(shù)字的所有可能情況;
(2)請判斷這個游戲是否公平,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,過對角線交點O作EF⊥AC交AD于點E,交BC于點F,則DE的長是( 。
A.1B.C.2D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點,∠OAC=58°.
(Ⅰ)如圖①,過點C作⊙O的切線,與BA的延長線交于點P,求∠P的大。
(Ⅱ)如圖②,P為AB上一點,CP延長線與⊙O交于點Q.若AQ=CQ,求∠APC的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】深圳市政府計劃投資1.4萬億元實施東進戰(zhàn)略.為了解深圳市民對東進戰(zhàn)略的關(guān)注情況.某校數(shù)學(xué)興趣小組隨機采訪部分深圳市民,對采訪情況制作了統(tǒng)計圖表的一部分如下:
關(guān)注情況 | 頻數(shù) | 頻率 |
A.高度關(guān)注 | m | 0.1 |
B.一般關(guān)注 | 100 | 0.5 |
C.不關(guān)注 | 30 | n |
D.不知道 | 50 | 0.25 |
(1)根據(jù)上述統(tǒng)計圖可得此次采訪的人數(shù)為 人,m= ,n= ;
(2)根據(jù)以上信息補全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)上述采訪結(jié)果,請估計在15000名深圳市民中,高度關(guān)注東進戰(zhàn)略的深圳市民約有 人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x﹣2與雙曲線y=(k≠0)相交于A,B兩點,且點A的橫坐標(biāo)是3.
(1)求k的值;
(2)過點P(0,n)作直線,使直線與x軸平行,直線與直線y=x﹣2交于點M,與雙曲線y= (k≠0)交于點N,若點M在N右邊,求n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某教室的開關(guān)控制板上有四個外形完全相同的開關(guān),其中兩個分別控制A、B兩
盞電燈,另兩個分別控制C、D兩個吊扇.已知電燈、吊扇均正常,且處于不工作狀態(tài),開
關(guān)與電燈、電扇的對應(yīng)關(guān)系未知.
(1)若四個開關(guān)均正常,則任意按下一個開關(guān),正好一盞燈亮的概率是多少?
(2)若其中一個控制電燈的開關(guān)壞了,則任意按下兩個開關(guān),正好一盞燈亮和一個扇轉(zhuǎn)的概率是多少?請用樹狀圖法或列表法加以說明
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分線相交于點E,過點E作EF∥BC交AC于點F,則EF的長為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高學(xué)生的閱讀能力,我市某校開展了“讀好書,助成長”的活動,并計劃購置一批圖書,購書前,對學(xué)生喜歡閱讀的圖書類型進行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖,如圖所示,請根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽取了 名學(xué)生,兩幅統(tǒng)計圖中的m= ,n= .
(2)已知該校共有3600名學(xué)生,請你估計該校喜歡閱讀“A”類圖書的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校將舉辦讀書知識競賽,九年級1班要在本班3名優(yōu)勝者(2男1女)中隨機選送2人參賽,請用列表或畫樹狀圖的方法求被選送的兩名參賽者為一男一女的概率.
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