Question

【題目】如圖所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分線于E，EM⊥AB,EN⊥AC,

（1）求證：BM=CN

（2）若AB=9，AC=5.求AM長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）7；

【解析】

（1）連接BE、EC，由中垂線的性質(zhì)就可以得出BE=CE，由EM⊥AB，EN⊥AC，AE平分∠BAC由角平分線的性質(zhì)就可以得出EM=EN，在證明Rt△BME和Rt△CNE全等及可以得出結(jié)論．

（2）過點E作EM⊥AC的延長線于點M，連接BE、EC，利用角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)得到EM=EN，EB=EC，證明Rt△BME≌Rt△CNE（HL），得到BM=CN，證明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），得到AM=AN，由AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，即AM=9-AM+5，即可解答．

（1）證明：連接BE、EC，
∵BD=DC，DE⊥BC

∵BE=EC．
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，
EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．
在Rt△BME和Rt△CNE中，
∵BE=EC，EM=EN

，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）
∴BM=CN．

（2）如圖，過點E作EM⊥AC的延長線于點M，連接BE、EC，

由（1）可知Rt△BME≌Rt△CNE（HL）
∴BM=CN，
在RtAME和Rt△ANE中，
,
∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL）
∴AM=AN，
∴AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，
即AM=9-AM+5
2AM=9+5
2AM=14
AM=7．