Question

如圖，已知A（0，4）、B（2，0），將Rt△AOB繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A′OB′．
（1）寫出點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A′、B′、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）此拋物線的頂點(diǎn)M是否在直線AA′上？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度可知A′、B′分別在x的負(fù)半軸和y的正半軸上，而A′的橫坐標(biāo)的絕對值就是A的縱坐標(biāo)，B′的縱坐標(biāo)就是B的橫坐標(biāo)．由此可得出A′、B′的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）得出的A′、B′的坐標(biāo)，以及已知的B的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)式即可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出AA′的解析式，然后判斷二次函數(shù)的頂點(diǎn)是否在AA′所在的直線上即可．

解答：解：（1）A′（-4，0），B′（0，2）．

（2）設(shè)經(jīng)過A'、B的拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），由于拋物線過B′（0，2），
可得：2=a×4×（-2），
因此a=-

1

4

．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

4

（x+4）（x-2）=-

1

4

x²-

1

2

x+2

（3）頂點(diǎn)M不在直線AA′上，理由如下：
由（2）可知，拋物線的頂點(diǎn)為M（-1，

9

4

）．
直線AA'對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y=x+4，
而-1+4≠

9

4

，故頂點(diǎn)M不在直線AA′上．

點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的方法．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′、B′的坐標(biāo)是解題的基礎(chǔ)．