【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,B點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動,當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時,求點P的坐標(biāo)
(3)直線l經(jīng)過A、C兩點,點Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動,直線m經(jīng)過點B和點Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:把B、C兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ,
解得 ,
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)解:如圖1,連接BC,過Py軸的平行線,交BC于點M,交x軸于點H,
在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,
∴A點坐標(biāo)為(﹣1,0),
∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,
∴S△ABC= AB×OC= ×4×3=6,
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴直線BC解析式為y=x﹣3,
設(shè)P點坐標(biāo)為(x,x2﹣2x﹣3),
則M點坐標(biāo)為(x,x﹣3),
∵P點在第四限,
∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△PBC= PMOH+ PMHB= PM(OH+HB)= PMOB= PM,
∴當(dāng)PM有最大值時,△PBC的面積最大,則四邊形ABPC的面積最大,
∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣ )2+ ,
∴當(dāng)x= 時,PMmax= ,則S△PBC= × = ,
此時P點坐標(biāo)為( ,﹣ )
(3)解:如圖2,設(shè)直線m交y軸于點N,交直線l于點G,
則∠AGP=∠GNC+∠GCN,
當(dāng)△AGB和△NGC相似時,必有∠AGB=∠CGB,
又∠AGB+∠CGB=180°,
∴∠AGB=∠CGB=90°,
∴∠ACO=∠OBN,
在Rt△AON和Rt△NOB中,
∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),
∴ON=OA=1,
∴N點坐標(biāo)為(0,﹣1),
設(shè)直線m解析式為y=kx+d,把B、N兩點坐標(biāo)代入可得 ,解得 ,
∴直線m解析式為y= x﹣1,
即存在滿足條件的直線m,其解析式為y= x﹣1.
【解析】(1)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;(2)先確定出點A的坐標(biāo),進(jìn)而求出AB,再用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積,最后求出PM,即可建立三角形PBC的面積的函數(shù)關(guān)系式,即可得出結(jié)論;(3)先判斷出∠ACO=∠OBN進(jìn)而得出Rt△AON≌Rt△NOB即可確定出N點坐標(biāo)為(0,﹣1),最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論.
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是斜坡AC上的一根電線桿AB用鋼絲繩BC進(jìn)行固定的平面圖.已知斜坡AC的長度為4 m,鋼絲繩BC的長度為5 m,AB⊥AD于點A,CD⊥AD于點D,若CD=2 m,則電線桿AB的高度是多少.(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園,其中一邊靠墻,另外三邊用長為30米的籬笆圍成,已知墻長為18米(如圖所示),設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米.
(1)若苗圃園的面積為72平方米,求x;
(2)若平行于墻的一邊長不小于8米,這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎?如果有,求出最大值和最小值;如果沒有,請說明理由;
(3)當(dāng)這個苗圃園的面積不小于100平方米時,直接寫出x的取值范圍.
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【題目】(1)在平面直角坐標(biāo)系中,OABC的邊OC落在x軸的正半軸上,且點C(4,0),B(6,2),直線y=2x+b將OABC的面積平分,則b=_______.
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x+3關(guān)于原點對稱的直線的表達(dá)式為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校七年級四個班在植樹節(jié)這天義務(wù)植樹一班植樹x棵,二班植樹的棵數(shù)比一班的2倍少40棵,三班植樹的棵數(shù)比二班的一半多30棵,四班植樹的棵數(shù)比三班的三分之一多50棵.
求這四個班共植樹多少棵用含x的代數(shù)式表示;
當(dāng)時,四個班哪個班植樹最多?
若四個班共植樹266棵,一班植樹多少棵.
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【題目】在2016年“雙十一”期間,某快遞公司計劃租用甲、乙兩種車輛快遞貨物,從貨物量來計算:若租用兩種車輛合運(yùn),10天可以完成任務(wù);若單獨(dú)租用乙種車輛,完成任務(wù)的天數(shù)是單獨(dú)租用甲種車輛完成任務(wù)天數(shù)的2倍.
(1)求甲、乙兩種車輛單獨(dú)完成任務(wù)分別需要多少天?
(2)已知租用甲、乙兩種車輛合運(yùn)需租金65000元,甲種車輛每天的租金比乙種車輛每天的租金多1500元,試問:租甲和乙兩種車輛、單獨(dú)租甲種車輛、單獨(dú)租乙種車輛這三種租車方案中,哪一種租金最少?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點,連接AM、BM、CM.以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE,將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.
(1)求證:△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,則稱點M為△ABC的費(fèi)馬點.若點M為△ABC的費(fèi)馬點,試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù);
(3)小翔受以上啟發(fā),得到一個作銳角三角形費(fèi)馬點的簡便方法:如圖②,分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF,連接CE、BF,設(shè)交點為M,則點M即為△ABC的費(fèi)馬點.試說明這種作法的依據(jù).
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【題目】請完成下面的解答過程.
如圖,∠1=∠B,∠C=110°,求∠3的度數(shù).
解:∵∠1=∠B,
∴AD∥ 。( 。
∴∠C+ =180°.(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))
∵∠C=110°,
∴∠2= °.
∴∠3= =70°.( 。
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