Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 OABC 的頂點(diǎn) A、C 分別在 x 軸和 y 軸上，頂點(diǎn)B 在第一象限，OA//CB．

（1）如圖 1，若點(diǎn) A(6，0)，B(4，3)，點(diǎn) M 是 y 軸上一點(diǎn)，且 SBCM SAOM ，求點(diǎn) M的坐標(biāo)；

（2）如圖 2，點(diǎn) P 是 x 軸上點(diǎn) A 左邊的一點(diǎn)，連接 PB，∠PBC 和∠PAB 的角平分線交于點(diǎn)D，求證：∠ABP+2∠ADB=180°；

（3）如圖 3，點(diǎn) P 是 x 軸上點(diǎn) A 左邊的一點(diǎn)，點(diǎn) Q 是射線 BC 上一點(diǎn)，連接 PB、PQ，∠ABP和∠BQP 的平分線相交于點(diǎn) E，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（0，）或（0，）；（2）見解析；（3）2

【解析】

（1）首先根據(jù)題意可判斷點(diǎn)M一定在點(diǎn)C的下方，接下來分類兩種情況討論：當(dāng)0＜m＜3及m＜0時(shí)，根據(jù)SBCM SAOM及三角形的面積公式列出方程計(jì)算即可

（2）過點(diǎn)D作DH∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得∠ADB＝∠DAO＋∠DBC，再根據(jù)角平分線可得∠PBC＋∠PAB＝2∠ADB，最后再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得證；

（3）先設(shè)∠ABF＝∠EBG＝x，∠GQP＝∠EQB＝y，根據(jù)三角形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)可分別證得∠BEQ－∠BAP＝x－y，∠BPQ－∠BEQ＝x－y，等量代換即可求得答案．

（1）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），

∵點(diǎn) A(6，0)，B(4，3)，

∴AO＝6，BC＝4，

∵SBCM SAOM，

∴點(diǎn)M一定在點(diǎn)C的下方，

當(dāng)0＜m＜3時(shí)，

則，

解得，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，），

當(dāng)m＜0時(shí)，

則，

解得，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，），

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)D作DH∥BC，

∵DH∥BC，OA∥BC，

∴DH∥OA，

∴∠HAD＝∠DAO，

∵DH∥BC，

∴∠HAB＝∠DBC，

∴∠ADB＝∠HAD＋∠HAB

＝∠DAO＋∠DBC，

∵DB、DA分別平分∠PBC、∠PAB，

∴∠PBC＝2∠DBC，∠PAB＝2∠DAO，

∴∠PBC＋∠PAB＝2(∠DBC＋∠DAO)

＝2∠ADB，

∵OA∥BC，

∴∠PAB＋∠ABC＝∠PAB＋∠PBC＋∠ABP＝180，

即2∠ADB＋∠ABP＝180°；

（3）解：如圖，

∵∠ABP和∠BQP的平分線相交于點(diǎn)E，

∴設(shè)∠ABF＝∠EBG＝x，∠GQP＝∠EQB＝y，

∵OA∥BC，

∴∠AFB＝∠EBQ，

∴180°－(∠ABF＋∠BAP)＝ 180°－(∠BEQ＋∠EQB)

∴∠ABF＋∠BAP＝∠BEQ＋∠EQB，

即：x＋∠BAP＝∠BEQ＋y，

∴x－y＝∠BEQ－∠BAP，

∵∠EBG ＋∠BEQ＋∠BGE＝∠GQP＋∠BPQ＋∠PGQ＝180°，∠BGE＝∠PGQ，

∴∠EBG ＋∠BEQ ＝∠GQP＋∠BPQ，

即：x＋∠BEQ＝y＋∠BPQ，

∴x－y＝∠BPQ－∠BEQ，

∴∠BPQ－∠BEQ＝∠BEQ－∠BAP，

即∠BPQ＋∠BAP＝2∠BEQ，

∴，

∴的值為2．