Question

【題目】已知拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）我們規(guī)定：對于直線，直線，若，則直線；反過來也成立.請根據(jù)這個規(guī)定解決下列問題：

①直線與直線是否垂直？并說明理由；

②若點(diǎn)是拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)構(gòu)成以為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為；（2） ①不垂直，理由詳見解析；②存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）令，求出x的值，根據(jù)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)求出A的坐標(biāo)，令，求出y的值即可求出C的坐標(biāo)；

（2）①分別求出兩條直線的斜率，然后根據(jù)兩斜率的積不等于-1即可證明兩直線不垂直；②根據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式，然后對時與時兩種情況分別討論計算即可.

解：

（1）當(dāng)時，，解得，

∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)時，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）①不垂直；由，得，由，得

∵

∴直線與直線不垂直；

②存在.

∵

∴拋物線的對稱軸為直線.

設(shè)直線，根據(jù)題意得,解得

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為

分兩種情況：Ⅰ）當(dāng)時，如圖，根據(jù)新定義可設(shè)

∵點(diǎn)坐標(biāo)為

∴

∴

直線的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時，

此時點(diǎn)坐標(biāo)為；

Ⅱ）當(dāng)時，如圖，根據(jù)新定義可設(shè)

∵點(diǎn)坐標(biāo)為

∴，

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時，，

此時點(diǎn)坐標(biāo)為；

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.