Question

【題目】如圖，AE切⊙O于點E，AT交⊙O于點M，N，線段OE交AT于點C，OB⊥AT于點B，已知∠EAT=30°，AE=3 ，MN=2 ．
（1）求∠COB的度數；
（2）求⊙O的半徑R；
（3）點F在⊙O上（ 是劣弧），且EF=5，把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AE切⊙O于點E，

∴AE⊥CE，又OB⊥AT，

∴∠AEC=∠CBO=90°，

又∠BCO=∠ACE，

∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，

∴∠COB=∠A=30°

（2）解：∵AE=3 ，∠A=30°，

∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°= ，即EC=AEtan30°=3，

∵OB⊥MN，∴B為MN的中點，又MN=2 ，

∴MB= MN= ，

連接OM，在△MOB中，OM=R，MB= ，

∴OB= ，

在△COB中，∠BOC=30°，

∵cos∠BOC=cos30°= ，

∴BO= OC，

∴OC= OB= ，

又OC+EC=OM=R，

∴R= +3，

整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，

解得：R=﹣23（舍去）或R=5，

則R=5

（3）解：以EF為斜邊，有兩種情況，以EF為直角邊，有四種情況，所以六種，

畫直徑FG，連接EG，延長EO與圓交于點D，連接DF，如圖所示：

∵EF=5，直徑ED=10，可得出∠FDE=30°，

∴FD=5 ，

則C△EFD=5+10+5 =15+5 ，

由（2）可得C△COB=3+ ，

∴C△EFD：C△COB=（15+5 ）：（3+ ）=5：1．

∵EF=5，直徑FG=10，可得出∠FGE=30°，

∴EG=5 ，

則C△EFG=5+10+5 =15+5 ，

∴C△EFG：C△COB=（15+5 ）：（3+ ）=5：1

【解析】（1）由AE與圓O相切，根據切線的性質得到AE與CE垂直，又OB與AT垂直，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似，根據相似三角形的對應角相等可得出所求的角與∠A相等，由∠A的度數即可求出所求角的度數；（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數定義求出CE的長，再由OB垂直于MN，由垂徑定理得到B為MN的中點，根據MN的長求出MB的長，在直角三角形OBM中，由半徑OM=R，及MB的長，利用勾股定理表示出OB的長，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用銳角三角函數定義表示出OC，用OE﹣OC=EC列出關于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值；（3）把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F(xiàn)重合，在EF的同一側，這樣的三角形共有3個．延長EO與圓交于點D，連接DF，如圖所示，由第二問求出半徑，的長直徑ED的長，根據ED為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到三角形EFD為直角三角形，由∠FDE為30°，利用銳角三角函數定義求出DF的長，表示出三角形EFD的周長，再由第二問求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比．