Question

18．在一次數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)課上，有下面的一段對(duì)話，請(qǐng)你閱讀完后再解答問(wèn)題．
老師：同學(xué)們，今天我們來(lái)探索如下方程的解法：（$\frac{x}{x-1}$）²-4（$\frac{x}{x-1}$）+4=0．
學(xué)生甲：老師，原方程可整理為$\frac{{x}^{2}}{（x-1）^{2}}$-$\frac{4x}{x-1}$+4=0，再去分母，行得通嗎？
老師：很好，當(dāng)然可以這樣做．
再仔細(xì)觀察，看看這個(gè)方程有什么特點(diǎn)？還可以怎樣解答？
學(xué)生乙：老師，我發(fā)現(xiàn)$\frac{x}{x-1}$是整體出現(xiàn)的！
老師：很好，我們把$\frac{x}{x-1}$看成一個(gè)整體，用y表示，即可設(shè)$\frac{x}{x-1}$=y，那么原方程就變?yōu)閥²-4y+4=0．
全體學(xué)生：噢，等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式？！方程可以變形成（y-2）²=0
老師：大家真會(huì)觀察和思考，太棒了！顯然y²-4y+4=0的根是y=2，那么就有$\frac{x}{x-1}$=2
學(xué)生丙：對(duì)啦，再解這兩個(gè)方程，可得原方程的根x=2，再驗(yàn)根就可以了！
老師：同學(xué)們，通常我們把這種方法叫做換元法，這是一種重要的轉(zhuǎn)化方法．
全體同學(xué)：OK，換元法真神奇！
現(xiàn)在，請(qǐng)你用換元法解下列分式方程（組）：
（1）（$\frac{2x}{x-1}$）²-$\frac{4x}{x-1}$+1=0；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{x-y}+\frac{4}{x+y}=3}\\{\frac{9}{x-y}-\frac{1}{x+y}=1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\frac{2x}{x-1}=y$，則原方程變形為：y²-2y+1=0，求得y的值，繼而可得關(guān)于x的方程，即可求得x的值；
（2）設(shè)$\frac{1}{x-y}$=u，$\frac{1}{x+y}$=v，將原方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于u、v的方程組求得u、v的值，繼而可得關(guān)于x、y的方程組，解方程組可得．

解答 解：（1）設(shè)$\frac{2x}{x-1}=y$，則原方程變形為：y²-2y+1=0，
即（y-1）²=0，
故y=1，
則：$\frac{2x}{x-1}$=1，
解得：x=-1，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=-1是原方程的解．
（2）設(shè)$\frac{1}{x-y}$=u，$\frac{1}{x+y}$=v，
則原方程組化為：$\left\{\begin{array}{l}{6u+4v=3}\\{9u-v=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{u=\frac{1}{6}}\\{v=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{x-y=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
經(jīng)檢驗(yàn)，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$是原方程組的解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查換元法解方程或方程組，解方程或方程組是基本技能，要熟練掌握其基本步驟和方法，將合適的整體設(shè)為新元是換元法的關(guān)鍵．