【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù)y= (k為常數(shù),k≠0)的圖象交于點(diǎn)A(﹣1,4)和點(diǎn)B(a,1).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和a、b的值;
(2)若A、O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱,請(qǐng)連接AO,并求出直線l與線段AO的交點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵點(diǎn)A(﹣1,4)在反比例函數(shù)y= (k為常數(shù),k≠0)的圖象上,

∴k=﹣1×4=﹣4,

∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣

把點(diǎn)A(﹣1,4)、B(a,1)分別代入y=x+b中,

得: ,解得:


(2)

解:連接AO,設(shè)線段AO與直線l相交于點(diǎn)M,如圖所示.

∵A、O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱,

∴點(diǎn)M為線段OA的中點(diǎn),

∵點(diǎn)A(﹣1,4)、O(0,0),

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣ ,2).

∴直線l與線段AO的交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣ ,2)


【解析】(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,即可求出k值,從而得出反比例函數(shù)解析式;再將點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)y=x+b中得出關(guān)于a、b的二元一次方程組,解方程組即可得出結(jié)論;
   。2)連接AO,設(shè)線段AO與直線l相交于點(diǎn)M.由A、O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱,可得出點(diǎn)M為線段AO的中點(diǎn),再結(jié)合點(diǎn)A、O的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解二元一次方程組以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,解題的關(guān)鍵是:(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求函數(shù)系數(shù);(2)得出點(diǎn)M為線段AO的中點(diǎn).本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí),巧妙的利用了中點(diǎn)坐標(biāo)公式降低了難度.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解解二元一次方程組的相關(guān)知識(shí),掌握二元一次方程組:①代入消元法;②加減消元法,以及對(duì)確定一次函數(shù)的表達(dá)式的理解,了解確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.

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如圖1,求證:;

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