Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為2．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）將該拋物線向下平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)G在x軸上．原拋物線上一點(diǎn)M平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，如果△AMN是以MN為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OP，垂足為E，點(diǎn)Q為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QE、QD，試求QE+QD的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為或；（3）

【解析】

（1）由拋物線與x軸兩交點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)式，把點(diǎn)C代入即求得拋物線表達(dá)式；

（2）由原拋物線頂點(diǎn)式可知，向下平移4個(gè)單位后頂點(diǎn)落在x軸上，故MN＝4且MN⊥x軸．由于△AMN為等腰三角形且MN為底邊，故有x軸垂直平分MN，得到點(diǎn)N縱坐標(biāo)為﹣2，代入新拋物線解析式解方程即求得點(diǎn)N橫坐標(biāo)．

（3）作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)即有QD＝QD'，易得當(dāng)點(diǎn)D'、Q、E在同一直線上時(shí)，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小．由于點(diǎn)E隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)也是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由∠OEB＝90°且O、B是定點(diǎn)可得點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓�。�故當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D'與圓心所連線段上時(shí)，D'E最�。�求出圓心F的坐標(biāo)，即求出D'F和半徑r，所以D'E＝D'F﹣r，所求即為QE+QD的最小值．

解：（1）拋物線與軸交于、，

設(shè)交點(diǎn)式為，

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

解得：，

拋物線表達(dá)式為

（2）

向下平移后新拋物線為，頂點(diǎn)，即拋物線向下平移4個(gè)單位

原拋物線上一點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，

，軸

是以為底邊的等腰三角形，且點(diǎn)在軸上

軸垂直平分，

的縱坐標(biāo)為

在新拋物線為上，

，

解得：，

點(diǎn)坐標(biāo)為或．

（3）如下圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，

點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，

，，

當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，最小，

于點(diǎn)，為拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)在以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的弧上運(yùn)動(dòng)，

圓心，，

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，

的最小值為．