Question

10．如圖，一只螞蟻在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)爬行，點O是對角線的交點，∠MON=90°，OM，ON分別交線段AB，BC于M，N兩點，則螞蟻停留在陰影區(qū)域的概率為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出“∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90”，通過角的計算可得出∠MOB=∠NOC，由此即可證出△MOB≌△NOC，同理可得出△AOM≌△BON，從而可得知S_陰影=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，再根據(jù)幾何概率的計算方法即可得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，點O是對角線的交點，
∴∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°，
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠NOC=90°，
∴∠MOB=∠NOC．
在△MOB和△NOC中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠MOB=∠NOC}\\{OB=OC}\\{∠MBO=∠NCO}\end{array}\right.$，
∴△MOB≌△NOC（ASA）．
同理可得：△AOM≌△BON．
∴S_陰影=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．
∴螞蟻停留在陰影區(qū)域的概率P=$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了幾何概率．正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判斷及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出S_陰影=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)正方形的性質(zhì)和角的計算找出相等的邊角關(guān)系，再利用全等三角形的判定定理證出三角形全等是關(guān)鍵．