Question

3．某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：如圖1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將三角板中含45°角的頂點放在A上，斜邊從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．
（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發(fā)現：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發(fā)現的結論；
（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉中還發(fā)現線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD²+CE²=DE²．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決：
小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，連接EF（如圖2）；
小亮的想法：將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；
請你從中任選一種方法進行證明．
（3）小敏繼續(xù)旋轉三角板，請你繼續(xù)研究：當135°＜α＜180°時（如圖4），等量BD²+CE²=DE²是否仍然成立？請作出判斷，不需要證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據圖形、已知條件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）成立．小穎的方法是應用折疊對稱的性質和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中應用勾股定理而證明；小亮的方法是將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，根據旋轉的性質用SAS得到△ADE≌△AGE，從而在Rt△CEG中應用勾股定理而證明．
（3）成立．小穎的方法是應用折疊對稱的性質和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中應用勾股定理而證明；小亮的方法是將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，根據旋轉的性質用SAS得到△ACE≌△ACG，從而在Rt△CEG中應用勾股定理而證明．當135°＜α＜180°時，等量關系BD²+CE²=DE²仍然成立．可以根據小穎和小亮的方法進行證明即可．

解答 （1）證明：如圖1，∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

（2）選擇小穎的方法．
證明：如圖2，連接EF．
由折疊可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．       
選擇小亮的方法，
證明：∵將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，
∴△ADB≌△AGC，
∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，
∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，
∴∠EAG=45°，
在△DAE和△GAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AG}\\{∠DAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△GAE（SAS），
∴DE=EG，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°μ，
∴△ECG是直角三角形，
∴CG²+CE²=EG²，
即BD²+CE²=DE²；
（3）當135°＜α＜180°時，等量關系BD²+CE²=DE²仍然成立．證明如下：
 如圖4，按小穎的方法作圖，設AB與EF相交于點G．
∵將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，∴AF=AC．
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-（45°-∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．
∴∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°．
∴∠DFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²

點評 本題考查了幾何變換綜合性題目，用到的知識點有角平分線的定義，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，折疊對稱的性質，全等三角形的判定和性質等，題目的綜合性較強，難度較大，正確做出圖形的輔助線是解題的關鍵．