Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，連結(jié)CD、QC．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，DQ=2AD？

（3）求線段QC所在直線與⊙P相切時(shí)t的值。

Answer 1

（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6�！�。

∵點(diǎn)Q的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，∴OQ=t。∴AQ=OA－OQ=8－t。

∵⊙P的直徑為AC，∴∠ADC=90°。

∴，即，解得。

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，AD=AQ，∴，解得。

∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合。

     （3）線段QC所在直線與⊙P相切時(shí)，CQ⊥AB，AQ=8－t，

∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，∴△ACQ∽△AOB。

∴，即，解得t=。

∴線段QC所在直線與⊙P相切時(shí)，。

【考點(diǎn)】雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)。

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)點(diǎn)Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可。

（2）根據(jù)DQ=2AD列式求解即可。

（3）根據(jù)切線的性質(zhì)，得到△ACQ∽△AOB，根據(jù)相似比列式求解即可。