Question

如圖所示，對稱軸是x=-1的拋物線與x軸交于A、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），作直線AC，點P是線段AB上不與點A、B重合的一個動點，過點P作y軸的平行線，交直線AC于點D，交拋物線于點E，連結(jié)CE、OD．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）當P在A、O之間時，求線段DE長度s的最大值；
（3）連接AE、BC，作BC的垂直平分線MN分別交拋物線的對稱軸x軸于F、N，連接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出交點式求得二次函數(shù)的解析式即可；
（2）首先求得直線BC的解析式，然后設(shè)P（m，0），則D（m，m+3），E（m，-m²-2m+3），得到s=y_E-y_D=-m²-3m，配方后即可確定最值；
（3）根據(jù)OA=OC=3，OB=1，得到∠OAC=∠OCA=45°，BC=

10

，BM=

10

2

，從而得到∠ADP=∠ACO=45°，利用cos∠ABC=

BM

BN

=

OB

BC

，得到BN=5，CN=5-2=3=OC，可得△FNG≌△BCO，然后分當點P在A、O之間時和當點P在O、B之間時確定P點的坐標．

解答：解：（1）由A、B（1，0）兩點關(guān)于x=-1對稱，得A（-3，0），
設(shè)拋物線為y=a（x-1）（x+3），
將點C（0，3）代入，解得a=-1，
∴拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3；

（2）由B、C兩點的坐標可求得直線AC的表達式：y=x+3，
設(shè)P（m，0），則D（m，m+3），E（m，-m²-2m+3），
s=y_E-y_D=-m²-2m+3-（m+3）
=-m²-3m
=-（m+

3

2

^）2+

9

4

                                 
∵-1＜0，
∴s有最大值

9

4

； 

（3）∵OA=OC=3，OB=1，
∴∠OAC=∠OCA=45°，BC=

10

，BM=

10

2

，
∴∠ADP=∠ACO=45°，
∵cos∠ABC=

BM

BN

=

OB

BC

，即

10 2

BN

=

1

10

，
∴BN=5，GN=5-2=3=OC（G為對稱軸與x軸的交點），
可得△FNG≌△BCO，GF=OB=1=OG，
∴∠FOG=45°，
∴∠OFB=45°-∠FBG，
∵∠EAC=∠OFB，
∴∠EAC=45°-∠FBG
當點P在A、O之間時，如圖（2），
∵∠AEP=∠ADP-∠EAC=45°-∠EAC=∠FBG，
∴tan∠AEP=tan∠FBG，
∴

AP

EP

=

FG

BG

=

1

2

，
∴

m+3

-m2-2m+3

=

1

2

，
解得m=-1或-3（舍去），
∴P（-1，0）
當點P在O、B之間時，
∵∠EAP=∠DAP-∠EAC=45°-∠EAC=∠FBG，
∴tan∠EAP=tan∠FBG，
∴

EP

AP

=

FG

BG

=

1

2

∴

-m2-2m+3

m+3

=

1

2

，
解得m=

1

2

或-3（舍去），
∴P（

1

2

，0）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏，難度較大．