【答案】
分析:(1)因?yàn)樵匠逃袃蓚(gè)相等的實(shí)數(shù)根,故判別式△=(p+q+1)
2-4p=(p+q-1)
2+4q≥0,且α+β=p+q+1,αβ=p,于是p=αβ,q=α+β-p-1=α+β-αβ-1;
(2)因?yàn)棣痢堞,故只需求?-a)(1-β)≤0即可;
(3)先根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)所在的邊,再確定點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵α、β為方程x
2-(p+q+1)x+p=0(q≥0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴判別式△=(p+q+1)
2-4p=(p+q-1)
2+4q≥0,
且α+β=p+q+1,αβ=p,
于是p=αβ,
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1;
(2)∵(1-a)(1-β)=1-(α+β)+αβ=-q≤0(q≥0),
又α≤β,
∴a≤1≤β;
(3)若使p+q=
成立,只需α+β=p+q+1=
,
①當(dāng)點(diǎn)M(α,β)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),
由B(
,1),C(1,1),
得
≤α≤1,β=1,
而α=
-β=
-1=
>1,
故在BC邊上存在滿足條件的點(diǎn),其坐標(biāo)為(
,1)所以不符合題意舍去;
即在BC邊上不存在滿足條件的點(diǎn)
②當(dāng)點(diǎn)M(α,β)在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),
由A(1,2),C(1,1),
得a=1,1≤β≤2,
此時(shí)β=
-α=
-1=
,
又因?yàn)?<
<2,
故在AC邊上存在滿足條件的點(diǎn),其坐標(biāo)為(1,
);
③當(dāng)點(diǎn)M(α,β)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),
由A(1,2),B(
,1),
得
≤α≤1,1≤β≤2,
由平面幾何知識(shí)得
,
于是β=2α,
由
解得α=
,β=
,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103200534316131807/SYS201311032005343161318028_DA/19.png"><
<1,1<
<2,
故在AB邊上存在滿足條件的點(diǎn),其坐標(biāo)為(
,
).
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M(α,β)在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),存在點(diǎn)(1,
)和點(diǎn)(
,
),使p+q=
成立.
點(diǎn)評(píng):此題較復(fù)雜,將根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式與動(dòng)點(diǎn)問題相結(jié)合,體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn).由于情況較多,需要分類討論.