Question

8．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：
①△ABG≌△AFG；
②BG=GC；
③AG∥CF；
④△GCF是等邊三角形．
正確結(jié)論有①②③．（填表認(rèn)為正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 由正方形和折疊的性質(zhì)得出AF=AB，∠B=∠AFG=90°，由HL即可證明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正確；設(shè)BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，由勾股定理求出x=3，得出②正確；由等腰三角形的性質(zhì)和外角關(guān)系得出∠AGB=∠FCG，證出平行線(xiàn)，得出③正確；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷④錯(cuò)誤．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正確；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
設(shè)BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG²+CE²=EG²，
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2
∴（6-x）²+4²=（x+2）²
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，
∴②正確；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正確；
∵AB=2BG，
∴∠BAG≠30°，
∴∠AGB≠60°，即△GCF是等邊三角形，④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線(xiàn)的判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．