【題目】 閱讀:我們約定,在平面直角坐標系中,經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線,叫該點的特征線.例如,點M(1,3)的特征線有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.

問題與探究:如圖,在平面直角坐標系中有正方形OABC,點B在第一象限,A、C分別在x軸和y軸上,拋物線經(jīng)過BC兩點,頂點D在正方形內部.

(1)直接寫出點D(m,n)所有的特征線;

(2)若點D有一條特征線是y=x+1,求此拋物線的解析式;

(3)點PAB邊上除點A外的任意一點,連接OP,將OAP沿著OP折疊,點A落在點A的位置,當點A在平行于坐標軸的D點的特征線上時,滿足(2)中條件的拋物線向下平移多少距離,其頂點落在OP上?

【答案】1x=my=n,y=x+nm,y=﹣x+m+n;(2;(3)拋物線向下平移距離,其頂點落在OP上.

【解析】

試題(1)根據(jù)特征線直接求出點D的特征線;

(2)由點D的一條特征線和正方形的性質求出點D的坐標,從而求出拋物線解析式;

(2)分平行于x軸和y軸兩種情況,由折疊的性質計算即可.

試題解析:解:(1)∵點Dm,n),∴點Dm,n)的特征線是x=m,y=n,y=x+nmy=﹣x+m+n;

(2)點D有一條特征線是y=x+1,∴nm=1,∴n=m+1.∵拋物線解析式為,∴,∵四邊形OABC是正方形,且D點為正方形的對稱軸,Dm,n),∴B(2m,2m),∴,將n=m+1帶入得到m=2,n=3;

D(2,3),∴拋物線解析式為

(3)①如圖,當點A在平行于y軸的D點的特征線時

根據(jù)題意可得,D(2,3),∴OA′=OA=4,OM=2,∴∠AOM=60°,∴∠AOP=∠AOP=30°,∴MN==,∴拋物線需要向下平移的距離==

如圖,當點A在平行于x軸的D點的特征線時,設A′(p,3),則OA′=OA=4,OE=3,EA′==,∴AF=4﹣,設P(4,c)(c>0),,在Rt△AFP中,(4﹣2+(3﹣c2=c2,∴c=,∴P(4,),∴直線OP解析式為y=x,∴N(2,),∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=

綜上所述:拋物線向下平移距離,其頂點落在OP上.

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