Question

如圖，在△ABC和△PQD中，

AC

BC

=

DP

DQ

，∠C=∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線BC上，聯(lián)結(jié)EQ，交PC于點(diǎn)H．猜想線段EH與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：取BC邊的中點(diǎn)F，連接DE、DF，利用三角形中位線的性質(zhì)得出四邊形DFCE是平行四邊形，進(jìn)而得出△PDF∽△QDE，即可得出EH與AC之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：猜想：EH=

1

2

AC．
證明：取BC邊的中點(diǎn)F，連接DE、DF．
∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC且DE=

1

2

BC，DF∥AC且DF=

1

2

AC．
∴四邊形DFCE是平行四邊形．
∴∠C=∠EDF，
∵∠C=∠PDQ，
∴∠PDQ=∠EDF，
∴∠PDF=∠QDE．
又∵

AC

BC

=

DP

DQ

，

AC

BC

=

DF

DE

，
∴

DP

DQ

=

DF

DE

．
∴△PDF∽△QDE．
∴∠DEQ=∠DFP．
又∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C=∠EHC．
∴EH=EC．
∴EH=

1

2

AC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定以及三角形中位線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△PDF∽△QDE是解題關(guān)鍵．