Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)在函數(shù)C1：y=

k1

x

(x＞0)的圖象上，其中k₁＞0．AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，且AC=1．

（1）若k₁=2，則AO的長(zhǎng)為

 

，△BOD的面積為

 

；
（2）如圖1，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為k₁，且k₁＞1，當(dāng)AO=AB時(shí)，求k₁的值；
（3）如圖2，OC=4，BE⊥y軸于點(diǎn)E，函數(shù)C2：y=

k2

x

(x＞0)的圖象分別與線段BE，BD交于點(diǎn)M，N，其中0＜k₂＜k₁．將△OMN的面積記為S₁，△BMN的面積記為S₂，若S=S₁-S₂，求S與k₂的函數(shù)關(guān)系式以及S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：探究型

分析：（1）把k₁=2，AC=1代入反比例函數(shù)的解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng)；根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可直接得出△BOD的面積；
（2）由于A，B兩點(diǎn)在函數(shù)C1：y=

k1

x

（x＞0）的圖象上，故點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，k₁），（k₁，1），再由AO=AB，可根據(jù)由勾股定理得出AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，再求出k₁的值即可；
（3））先根據(jù)OC=4得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，故可得出k₁的值，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，

4

m

），因?yàn)锽E⊥y軸于點(diǎn)E，BD⊥x軸于點(diǎn)D，所以四邊形ODBE為矩形，且S_{四邊形ODBE}=4，再由點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為

4

m

，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m．點(diǎn)M，N在函數(shù)C₂：y=

k2

x

（x＞0）的圖象上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

mk2

4

，

4

m

），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，

k2

m

）．所以S_△OME=S_△OND=

k2

2

，S₂=

1

2

BM•BN，再由S=S₁-S₂可得出關(guān)于k₂的解析式，由其中0＜k₂＜4即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵AC=1，k₁=2，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

k1

x

的圖象上，
∴y=

2

1

=2，即OC=2，
∴AO=

22+12

=

5

，
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象上，BD⊥x軸，
∴△BOD的面積為1．        

（2）∵A，B兩點(diǎn)在函數(shù)C1：y=

k1

x

（x＞0）的圖象上，
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，k₁），（k₁，1）．
∵AO=AB，
由勾股定理得AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，
∴1+k₁²=（1-k₁）²+（k₁-1）²．
解得k₁=2+

3

或k₁=2-

3

，
∵k₁＞1，
∴k₁=2+

3

；

（3）∵OC=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）．
∴k₁=4．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，

4

m

），
∵BE⊥y軸于點(diǎn)E，BD⊥x軸于點(diǎn)D，
∴四邊形ODBE為矩形，且S_{四邊形ODBE}=4，
點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為

4

m

，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m．
∵點(diǎn)M，N在函數(shù)C₂：y=

k2

x

（x＞0）的圖象上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

mk2

4

，

4

m

），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，

k2

m

）．
∴S_△OME=S_△OND=

k2

2

．
∴S₂=

1

2

BM•BN=

1

2

（m-

mk2

4

）（

4

m

-

k2

m

）=

(4-k2)2

8

．
∴S=S₁-S₂=（4-k₂-S₂）-S₂=4-k₂-2S₂．
∴S=4-k₂-2×

(4-k2)2

8

=-

1

4

k₂²+k₂，
其中0＜k₂＜4．
∵S=-

1

4

k₂²+k₂=-

1

4

（k₂-2）²+1，而-

1

4

＜0，
∴當(dāng)k₂=2時(shí)，S的最大值為1．
故答案為：

5

，1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，此題涉及到勾股定理、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及二次函數(shù)的最值問(wèn)題等相關(guān)知識(shí)，難度較大．