Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+3與x軸交于點B（3，0），與y軸交于點A，O為坐標原點，P是二次函數(shù)y=x²+bx+3的圖象上一個動點，點P的橫坐標是m，且m＞3，過點P作PM，PM交直線AB于M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若以AB為直徑的⊙N恰好與直線PM相切，求此時點M的坐標；
（3）在點P的運動過程中，△APM能否為等腰三角形？若能，求出點P的坐標；若不能請說出理由．

Answer 1

解：（1）將點B（3，0）坐標代入y=x²+bx+3得：0=9+3b+3，
解得b=-4，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3；

（2）令x=0，則y=3，∴A點坐標為A（0，3），
直線AB的解析式為y=-x+3，
C為⊙C的圓心，CA=CB=，
故C點坐標為（，），
過C作CD⊥PM于點D，CD=CA=CB=，
∴D點坐標為（，），
x_M=，
將x_M=代入y=-x+3得y_M=，
∴點M的坐標為（，）；

（3）若△APM為等腰三角形，進行分類討論；
①當PA=PM時，P（m，m²-4m+3）則M（m，-m+3），
|PM|=|m²-3m|，|PA|=，|AM|==；
由PA=PM可得|m²-3m|=，
解得m=4，m²-4m+3=3，
則P點坐標為P（4，3），
②當PA=AM時，=m，
解得m=3，或m=5，
當m=3時，m²-4m+3=0，由題意可知m＞3，故m=3不合題意；
當m=5時，m²-4m+3=8，
故點P坐標為（5，8），
③當PA=AM時，|m²-3m|=m，
解得m=3+或m=3-，
由題意可知m＞3，故m=3-舍去，
當m=3+時，m²-4m+3=2+2，
故點P坐標為（3+，2+）．
分析：（1）將點B（3，0）坐標代入y=x²+bx+3即可得到二次函數(shù)的解析式；
（2）先求出C點坐標和⊙C的半徑，根據(jù)CD=CA=CB便可求出D點坐標，進而求得點M的坐標；
（3）△APM為等腰三角形則分別討論PA=PM，PM=AM，PA=AM三種情況，得出符合條件的解即為點P的坐標；
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．