Question

1．如圖，平面內(nèi)的直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖（a），已知AB∥CD，求證：∠BPD=∠B+∠D．
（2）如圖（b），已知AB∥CD，求證：∠BOD=∠P+∠D．
（3）根據(jù)圖（c），試判斷∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點P作PE∥AB，由平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出∠B=∠BPE、∠D=∠DPE，結(jié)合角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）過點P作PE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠BOD=∠BPE、∠D=∠DPE，結(jié)合角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）數(shù)量關(guān)系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D．過點P作PE∥CD，過點B作BF∥PE，由平行線的性質(zhì)得出“∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，∠D=∠DPE”，再根據(jù)角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：過點P作PE∥AB，如圖1所示．

∵AB∥PE，AB∥CD，（已知）
∴AB∥PE∥CD．（在同一平面內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線互相平行）
∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠B+∠D．（等量代換）
（2）證明：過點P作PE∥CD，如圖2所示．

∵PE∥CD，（輔助線）
∴∠BOD=∠BPE，（兩直線平行，同位角相等）；∠D=∠DPE，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∴∠BPE=∠BPD+∠DPE=∠BPD+∠D，（等量代換）
即∠BOD=∠P+∠D．（等量代換）
（3）解：數(shù)量關(guān)系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D．
理由如下：
過點P作PE∥CD，過點B作BF∥PE，如圖3所示．

則BF∥PE∥CD，
∴∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
∠D=∠DPE，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵∠FBA=∠FBP+∠B，
∴∠BPE=∠BQD+∠B，
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠BQD+∠B+∠D．（等量代換）

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補的角．本題屬于中檔題，（1）難度不大；（2）（3）在實際做題中完全可以利用三角形外角的性質(zhì)來解決問題，平行線的性質(zhì)是很簡單，但是很多時候用反而不如不用好．