Question

10．如圖，Rt△ABC中，若∠ACB=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得B點(diǎn)落在AB上的B′處，A點(diǎn)落在A′處，則AA′=$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△ACA′∽△BCB′，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到AA′=$\frac{4}{3}$BB′，接下來(lái)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義可求得BB′的長(zhǎng)，從而得到問(wèn)題的答案．

解答 解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BB′．

∵BC=B′C
∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=A′C、∠BCB′=∠ACA′，BC=B′C，
∴△ACA′∽△BCB′．
∴AA′：BB′=4：3．
∴AA′=$\frac{4}{3}$BB′．
∵BC=B′C，DC⊥BB′，
∴BD=B′D．
∴BB′=2BD=2×3×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴AA′=$\frac{18}{5}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{24}{5}$．
故答案為：$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)，求得BB′的長(zhǎng)以及AA′與BB′的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．