Question

如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連結(jié)CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：5，則

MN

BM

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：首先過點(diǎn)N作NG⊥BC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為1：5，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，可得DN：CM=1：5，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN的長，繼而求得答案．

解答：解：過點(diǎn)N作NG⊥BC于G，如圖：，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形CDNG是矩形，AD∥BC，
∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN，
由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AM=AN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
∵AM=CM，
∴四邊形AMCN是菱形，
∵△CDN的面積與△CMN的面積比為1：5，
∴DN：CM=1：5，
設(shè)DN=x，
則AN=AM=CM=CN=5x，AD=BC=6x，CG=x，
∴BM=x，GM=4x，
在Rt△CGN中，NG=

CN2-CG2

=

(5x)2-x2

=2

6

x，
在Rt△MNG中，MN=

GM2+NG2

=

(4x)2+(2 6 x)2

=2

10

x，
∴

MN

BM

=

2 10 x

x

=2

10

，
故答案為：2

10

．

點(diǎn)評：此題考查了翻折變換，利用了折疊的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．