Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.

（1）求出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)；

（2）如圖（1），在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使得△CBE的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖（2），作垂直x軸的直線，在第二象限交直線AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，求當(dāng)MN有最大值時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)？并求出MN最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為（﹣3，0）、（0，3），頂點(diǎn)D（﹣1，4）；（2）點(diǎn)E（﹣1，2）；（3）MN有最大值，此時(shí)x＝﹣，故點(diǎn)N（﹣，）.

【解析】

（1）y=-x2-2x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=-3或1，即可求解；

（2）作點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FB，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E為所求點(diǎn)，此時(shí)△CBE的周長(zhǎng)=BC+EC+EB=BC+BE+EF=FB+BC，即可求解；

（3）先求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)N（x，-x2-2x+3），則點(diǎn)M（x，x+3），則MN=-x2-2x+3-x-3=-x2-3x，即可求解．

（1）y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝﹣3或1，

故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（﹣3，0）、（1，0）、（0，3），

函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝﹣1，故頂點(diǎn)D（﹣1，4）；

（2）作點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FB，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E為所求點(diǎn)，此時(shí)△CBE的周長(zhǎng)＝BC+EC+EB＝BC+BE+EF＝FB+BC，

∵BC是常數(shù)，F、E、B共線，故此時(shí)△CBE的周長(zhǎng)＝FB+BC最小，

∵（0，3），對(duì)稱軸為：x＝﹣1，

∴點(diǎn)F（﹣2，3），

設(shè)BF的解析式為：y=kx+b，

將點(diǎn)B、F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：

，解得：，

故直線BF的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+1，

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2，故點(diǎn)E（﹣1，2）；

（3）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，

設(shè)直線AC的解析式為：y=mx+n，

把A、C的坐標(biāo)代入得

，解之得，

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x+3，

設(shè)點(diǎn)N（x，﹣x2﹣2x+3），則點(diǎn)M（x，x+3），

則MN＝﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝﹣x2﹣3x，

∵﹣1＜0，故MN有最大值，此時(shí)x＝﹣，

故點(diǎn)N（﹣，）