【題目】如圖,直線y=﹣ x+2 與x軸,y軸分別交于點A,點B,兩動點D,E分別從點A,點B同時出發(fā)向點O運動(運動到點O停止),運動速度分別是1個單位長度/秒和 個單位長度/秒,設(shè)運動時間為t秒,以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E,過點E作x軸的平行線,與拋物線的另一個交點為點G,與AB相交于點F.

(1)求點A,點B的坐標(biāo);
(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長;
(3)當(dāng)四邊形ADEF為菱形時,試判斷△AFG與△AGB是否相似,并說明理由.
(4)是否存在t的值,使△AGF為直角三角形?若存在,求出這時拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:在直線y=﹣ x+2 中,

令y=0可得0=﹣ x+2 ,解得x=2,

令x=0可得y=2 ,

∴A為(2,0),B為(0,2 );


(2)解:由(1)可知OA=2,OB=2 ,

∴tan∠ABO= = ,

∴∠ABO=30°,

∵運動時間為t秒,

∴BE= t,

∵EF∥x軸,

∴在Rt△BEF中,EF=BEtan∠ABO= BE=t,BF=2EF=2t,

在Rt△ABO中,OA=2,OB=2 ,

∴AB=4,

∴AF=4﹣2t;


(3)解:相似.理由如下:

當(dāng)四邊形ADEF為菱形時,則有EF=AF,

即t=4﹣2t,解得t= ,

∴AF=4﹣2t=4﹣ = ,OE=OB﹣BE=2 × = ,

如圖,過G作GH⊥x軸,交x軸于點H,

則四邊形OEGH為矩形,

∴GH=OE= ,

又EG∥x軸,拋物線的頂點為A,

∴OA=AH=2,

在Rt△AGH中,由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=( 2+22= ,

又AFAB= ×4= ,

∴AFAB=AG2,即 = ,且∠FAG=∠GAB,

∴△AFG∽△AGB;


(4)解:存在,

∵EG∥x軸,

∴∠GFA=∠BAO=60°,

又G點不能在拋物線的對稱軸上,

∴∠FGA≠90°,

∴當(dāng)△AGF為直角三角形時,則有∠FAG=90°,

又∠FGA=30°,

∴FG=2AF,

∵EF=t,EG=4,

∴FG=4﹣t,且AF=4﹣2t,

∴4﹣t=2(4﹣2t),

解得t= ,

即當(dāng)t的值為 秒時,△AGF為直角三角形,此時OE=OB﹣BE=2 t=2 × = ,

∴E點坐標(biāo)為(0, ),

∵拋物線的頂點為A,

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2,

把E點坐標(biāo)代入可得 =4a,解得a=

∴拋物線解析式為y= (x﹣2)2,

即y= x2 x+


【解析】(1)在直線y=﹣ 3 x+23 中,令y=0,x=0,得到A為(2,0),B為(0,2 );(2)由(1)可知OA=2,OB=2 3 ,得到tan∠ABO,由∠ABO=30°,由運動時間為t秒,得到BE= t,EF∥x軸,所以在Rt△BEF中,EF=BEtan∠ABO=t,BF=2EF=2t,在Rt△ABO中,OA=2,OB=2 ,所以AB=4,AF=4﹣2t;(3)當(dāng)四邊形ADEF為菱形時,則有EF=AF,即t=4﹣2t,得到AF=4﹣2t= ,OE=OB﹣BE= ,由圖知四邊形OEGH為矩形,得到GH=OE,又EG∥x軸,拋物線的頂點為A,得到OA=AH=2,在Rt△AGH中,由勾股定理可得AG2=GH2+AH2 ,得到AFAB=AG2,且∠FAG=∠GAB,得到△AFG∽△AGB;(4)由EG∥x軸,得到∠GFA=∠BAO=60°,又G點不能在拋物線的對稱軸上,所以∠FGA≠90°,當(dāng)△AGF為直角三角形時,則有∠FAG=90°,又∠FGA=30°,得到FG=2AF,由EF=t,EG=4,得到FG=4﹣t,且AF=4﹣2t,即當(dāng)t的值為 秒時,△AGF為直角三角形,此時OE=OB﹣BE,即E點坐標(biāo)為(0, ),由拋物線的頂點為A,得到可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2,把E點坐標(biāo)代入可得 =4a,解得a= ,所以拋物線解析式為y= (x﹣2)2,即y= x2 x+
【考點精析】利用相似三角形的判定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知相似三角形的判定方法:兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似; 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS).

練習(xí)冊系列答案
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①如圖2,若點EC′、P在同一直線上,且互為互優(yōu)角,求∠EPF的度數(shù)(對折時,線段落在∠EPF內(nèi)部);

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(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)動點P運動到何處時,BP2=BDBC;
(3)當(dāng)△PCD的面積最大時,求點P的坐標(biāo).

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