Question

8．如圖，已知?ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上一動(dòng)點(diǎn)，求EF+BF的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，連接ED，EF+BF最小值=ED，然后解直角三角形即可求解．

解答 解：在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC與BD互相垂直平分，
∴點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱，
連接ED，則ED就是所求的EF+BF的最小值的線段，
∵E為AB的中點(diǎn)，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，
∴ED=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴EF+BF的最小值為3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到三角形中位線定理和解直角三角形，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．