Question

20．觀察下列各式的規(guī)律：
1×2×3×4+1=（1×4+1）²；2×3×4×5+1=（2×5+1）²；3×4×5×6+1=（3×6+1）²；…
①寫出第五個(gè)式子5×6×7×8+1=（5×8+1）²；
②寫出第n個(gè)式子，并用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 ①仿照給定等式繼續(xù)寫下去，即可得出結(jié)論；
②找出給定算式的變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律寫出第n個(gè)式子，再將等式右邊項(xiàng)進(jìn)行分解因式去與左邊相比較，即可證出結(jié)論．

解答 解：①比著給定算式寫下去：4×5×6×7+1=（4×7+1）²；5×6×7×8+1=（5×8+1）²；…
故答案為：5×6×7×8+1=（5×8+1）²．
②觀察給定等式，可發(fā)現(xiàn)等號(hào)前面四個(gè)相乘的因式為連續(xù)的自然數(shù)，等號(hào)后面口號(hào)內(nèi)兩因式為前面四因數(shù)的首項(xiàng)和尾項(xiàng)．
按照規(guī)律可知：第n個(gè)式子為n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1=[n×（n+3）+1]²，
證明：∵右邊=[n×（n+3）+1]²=[n×（n+3）]²+2n×（n+3）+1=n×（n+3）×[n×（n+3）+2]+1=n×（n+3）×（n²+3n+2）+1=n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1=左邊，
∴等式成立．
故結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)的變化規(guī)律以及利用完全平方法和十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是：①仿照例子寫下去；②找出規(guī)律得出結(jié)論．本題屬于中檔題，①只需仿照例子寫下去即可，②需找到變化的規(guī)律，結(jié)合規(guī)律找出第n個(gè)式子，再通過(guò)分解因式的方法去證明結(jié)論．